einfacher Pol bei Komposition < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f holomorph in einer Umgebung von [mm] z_{0} \in \IC [/mm] und sei [mm] f'(z_{o})\not=0. [/mm] Zeigen Sie: Hat die holomorphe Funktion g einen einfachen Pol in [mm] f(z_{0}), [/mm] so hat [mm] g\circf [/mm] einen einfachen Pol in [mm] z_{0} [/mm] mit
res [mm] (g\circf, z_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{res(g, f(z_{0})}{f'(z_{0}} [/mm] |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf meine Klausur vor und bin auf obige Aufgabe gestoßen. Und zwar habe ich bereits einen Lösungsansatz, bin aber nicht ganz sicher. Vielleicht könnte mal jemand von euch drüber schauen? Das wäre sehr hilfreich.
Also:
g hat einen einfachen Pol in [mm] f(z_{0}), [/mm] d.h ja dass [mm] \limes_{z\rightarrow\f(z_{0}} [/mm] = c (nicht unendlich, nicht 0) existiert.
Was wir nun zeigen wollen, ist doch, dass [mm] \limes_{f(z)\rightarrow\z_{0}} (f(z)-z_{0}) [/mm] g(f(z)) ebenfalls existiert, oder? Das würde ich hinbekommen, aber irgendwie hat mich die Aussage über das Residuum verwirrt, denn das sieht doch eher danach aus, als wenn wir zeigen müssten: [mm] \limes_{z)\rightarrow\z_{0}} (z-z_{0}) [/mm] g(f(z)) existiert.
Irgendwie steh ich auf dem Schlauch, vielleicht kann mir jemand sagen, was von beiden man nun zeigen muss?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei f holomorph in einer Umgebung von [mm]z_{0} \in \IC[/mm] und
> sei [mm]f'(z_{o})\not=0.[/mm] Zeigen Sie: Hat die holomorphe
> Funktion g einen einfachen Pol in [mm]f(z_{0}),[/mm] so hat [mm]g\circf[/mm]
> einen einfachen Pol in [mm]z_{0}[/mm] mit
> res [mm](g\circf, z_{0})[/mm] = [mm]\bruch{res(g, f(z_{0})}{f'(z_{0}}[/mm]
>
Es ist immer gut, sich den Quelltext anzusehen. Denn mir kamen große Zweifel an der Richtigkeit der obigen Aussage. Und siehe da, der Quelltext bringt hervor:
"Zeigen Sie: Hat die holomorphe
Funktion g einen einfachen Pol in [mm]f(z_{0}),[/mm] so hat [mm]g \circ f[/mm] einen einfachen Pol in [mm]z_{0}[/mm] mit res [mm](g \circ f, z_{0})[/mm] = [mm]\bruch{res(g, f(z_{0})}{f'(z_{0}}[/mm]"
DER FORMELEDITOR HAT EINE VORSCHAUFUNKTION !!!!!!
Zur Aufgabe:
Nach Vor. ist
(*) $res(g; [mm] f(z_0)) [/mm] = [mm] \limes_{w\rightarrow f(z_0)}(w-f(z_0))*g(w)$
[/mm]
Zu zeigen ist:
[mm] \limes_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)g(f(z)) [/mm] existiert und = [mm] \bruch{res(g, f(z_{0}))}{f'(z_{0})}
[/mm]
schreibe [mm] $(z-z_0)g(f(z)) [/mm] = [mm] \bruch{z-z_0}{f(z)-f(z_0)}*(f(z)-f(z_0))*g(f(z))$
[/mm]
und benutze (*)
FRED
> Hallo,
> ich bereite mich gerade auf meine Klausur vor und bin auf
> obige Aufgabe gestoßen. Und zwar habe ich bereits einen
> Lösungsansatz, bin aber nicht ganz sicher. Vielleicht
> könnte mal jemand von euch drüber schauen? Das wäre sehr
> hilfreich.
> Also:
> g hat einen einfachen Pol in [mm]f(z_{0}),[/mm] d.h ja dass
> [mm]\limes_{z\rightarrow\f(z_{0}}[/mm] = c (nicht unendlich, nicht
> 0) existiert.
> Was wir nun zeigen wollen, ist doch, dass
> [mm]\limes_{f(z)\rightarrow\z_{0}} (f(z)-z_{0})[/mm] g(f(z))
> ebenfalls existiert, oder? Das würde ich hinbekommen, aber
> irgendwie hat mich die Aussage über das Residuum verwirrt,
> denn das sieht doch eher danach aus, als wenn wir zeigen
> müssten: [mm]\limes_{z)\rightarrow\z_{0}} (z-z_{0})[/mm] g(f(z))
> existiert.
> Irgendwie steh ich auf dem Schlauch, vielleicht kann mir
> jemand sagen, was von beiden man nun zeigen muss?
|
|
|
| |
|
Bei dem Teil kriegst du die Residuenformel raus, die verlangt wird. Das habe ich so auch bewiesen. Wie aber kann ich zeigen, dass aus der Tatsache, dass der eine Grenzwert existiert, der Grenzwert nun existiert? Weil irgendwie muss man das ja daraus schließen. Oder?...
|
|
|
| |
|
Ich habs doch rausgekriegt, was gar nicht mal so schwer. Vielen Dank trotzdem ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:54 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habs doch rausgekriegt, was gar nicht mal so schwer.
> Vielen Dank trotzdem ;)
................... trotz was ?? ..............
FRED
|
|
|
|
