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| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe. Für Elemente [mm]g \in G[/mm] ist die Ordnung definiert als
[mm]ord(g):= min \{n \in \IN ; n > 1 \ und \ g^n=e \} [/mm],
wobei e das neutrale Element der Gruppe G bezeichnet. Es gilt dann:
[mm]g^n=e \gdw ord(g) | n[/mm]
1. Zeige: Ist p eine Primzahl und [mm]k \ge 1[/mm], so gilt:
[mm]ord(g)=p^k \gdw ord(g^{\red{p^{k-1}}})=p[/mm]
2. Schließe aus dem ersten Aufgabenteil, dass für das [mm]p^kte[/mm] Kreisteilungspolynom gilt:
[mm] \phi_{p^k} = \phi_p (x^{p^{k-1}}) [/mm] .
3. Sind die Aussagen im ersten und zweiten Aufgabenteil noch richtig, wenn p keine Primzahl ist? Gib eine begründete Antwort.
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Bei der ersten Aufgabe schätze ich, dass man das per Induktion zeigt? Ich habe aber eigentlich keine Idee, wie ich an die Aufgaben rangehen könnte und hoffe auf ein wenig Starthife von euch.
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> Sei G eine endliche Gruppe. Für Elemente [mm]g \in G[/mm] ist die
> Ordnung definiert als
> [mm]ord(g):= min \{n \in \IN ; n > 1 \ und \ g^n=e \} [/mm],
> wobei e das neutrale Element der Gruppe G bezeichnet. Es
> gilt dann:
> [mm]g^n=e \gdw ord(g) | n[/mm]
> 1. Zeige: Ist p eine Primzahl und
> [mm]k \ge 1[/mm], so gilt:
> [mm]ord(g)=p^k \gdw ord(g^{k-1})=p[/mm]
Hallo,
prüfe nochmal die Aufgabenstellung. Diese Aussage stimmt ja nicht.
Ah, jetzt weiß ich, wie das heißen soll:
> [mm]ord(g)=p^k \gdw ord(g^{p^{k-1}})=p[/mm]
Deinen Ansatz finde ich sehr dürftig.
Zumindest könnte man doch schonmal notoieren, daß zwei Richtungen zu zeigen sind,
dann kann man mal auf schreiben, was [mm] g^{p^k} [/mm] ist.
"==> "
Was ist denn zu zeigen, wenn Du [mm] ord(g^{p^{k-1}})=p [/mm] beweisen möchtest?
Gruß v. Angela
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