endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 So 02.12.2007 | | Autor: | bonni |
hallo,
ich hab ein paar kleine verständnis-fragen zu dem thema lineare abbildungen:
1.)V sei ein endlich dimensionaler vektorraum über K. F: V->V ist Endomorphismus mit f [mm] \circ [/mm] f =f
was ein Endomorphismus ist verstehe ich, doch was heißt dann f [mm] \circ [/mm] f=f
ich verstehe nich genau was das bedeuten soll?bzw was dieser Ausdruck aussagt?!
Bei diesem Endomorphismus wird ja V auf sich selbst abgebildet. Ist diese Abbildung immer surjektiv/ injektiv?ich kann mir das irgendwie nicht richtig vorstellen!
Wär super wenn mir jemand helfen könnte
LG
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> hallo,
> ich hab ein paar kleine verständnis-fragen zu dem thema
> lineare abbildungen:
>
> 1.)V sei ein endlich dimensionaler vektorraum über K. F:
> V->V ist Endomorphismus mit f [mm]\circ[/mm] f =f
>
> was ein Endomorphismus ist verstehe ich, doch was heißt
> dann f [mm]\circ[/mm] f=f
> ich verstehe nich genau was das bedeuten soll?bzw was
> dieser Ausdruck aussagt?!
Hallo,
das bedeutet, daß für alle [mm] v\in [/mm] V gilt (f [mm]\circ[/mm] f)(v)= f(f(v))=f(v).
Ein Beispiel:
betrachte [mm] f:\IR^2\to \IR^2 [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x \\ y}):=\vektor{x \\ 0} [/mm] für alle [mm] \vektor{x \\ y}\in \IR^2.
[/mm]
Berechne z.B. mal (f [mm]\circ[/mm] [mm] f)\vektor{5\\ 3}
[/mm]
> Bei diesem Endomorphismus wird ja V auf sich selbst
> abgebildet.
Nein, Endomorphismus sagt, daß der Zielraum derselbe ist wie der Startraum, die Abb. bildet also von V nach V ab, aber über Surjektivität ist nichts gesagt.
Und auch eine Abbildung mit f [mm]\circ[/mm] f =f garantiert einem keine Surjektivität, davon kannst Du Dich ja auch am Beispiel oben überzeugen.
Das Beispiel zeigt auch, daß solche Abbildungen nicht injektiv sein müssen, denn Du findest sicher ein weiteres Element, das denselben Funktionswert hat wie [mm] \vektor{5\\ 3}.
[/mm]
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
Ist diese Abbildung immer surjektiv/
> injektiv?ich kann mir das irgendwie nicht richtig
> vorstellen!
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> Wär super wenn mir jemand helfen könnte
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 02.12.2007 | | Autor: | bonni |
hallo und danke für die hilfe!!!!!!!
also hab mal versucht das auszurechnen
(f [mm]\circ[/mm] [mm]f)\vektor{5\\ 3}[/mm]
das gibt ja dann den vektor: [mm] \vektor{5 \\ 0}
[/mm]
da ja x auf x abgebildet wird und y auf 0, oder?
achso und injektiv/surjektiv muss es zum beispiel nicht sein weil ja zum Beispiel der vektor: [mm] \vektor{5 \\ 7} [/mm] auch auf [mm] \vektor{5 \\ 0} [/mm] abgebildet wird, oder?
viele grüße
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> also hab mal versucht das auszurechnen
> (f [mm]\circ[/mm] [mm]f)\vektor{5\\ 3}[/mm]
>
> das gibt ja dann den vektor: [mm]\vektor{5 \\ 0}[/mm]
> da ja x auf x
> abgebildet wird und y auf 0, oder?
>
> achso und injektiv/surjektiv muss es zum beispiel nicht
> sein weil ja zum Beispiel der vektor: [mm]\vektor{5 \\ 7}[/mm] auch
> auf [mm]\vektor{5 \\ 0}[/mm] abgebildet wird, oder?
Damit zeigst Du, daß die Abbildung nicht injektiv ist.
Sürjektiv ist sie nicht, weil kein Element auf [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mo 03.12.2007 | | Autor: | gossyk |
warum ist dann bei
V = img(f) [mm] \oplus [/mm] ker(f)
ker(f) = {0}?
wie kann man beweisen dass der kern nur aus dem nullvektor besteht?
ich hatte eigentlich gedacht das zeigt man indem man zeigt dass f injektiv ist, wenn nun f aber nicht injektiv ist - wie dann? :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mo 03.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> V = img(f) [mm]\oplus[/mm] ker(f)
>
> ker(f) = {0}?
für $V = [mm] \textrm{img} [/mm] (f) [mm] \oplus \ker [/mm] (f)$ muss nur $ [mm] \textrm{img} [/mm] (f) [mm] \cap \ker [/mm] (f) = [mm] \{0\}$ [/mm] gelten - der kern selber muss nicht $0$ sein.
wenn es immer noch um eine abbildung mit $f [mm] \circ [/mm] f = f$ geht, nimm doch an, dass $v [mm] \in \textrm{img} [/mm] (f) [mm] \cap \ker [/mm] (f)$ dann erhälst du zwei beschriebungen für $v$ und diese sollten dir helfen zu zeigen, dass $v = 0$. probiere das doch mal.
> ich hatte eigentlich gedacht das zeigt man indem man zeigt
> dass f injektiv ist, wenn nun f aber nicht injektiv ist -
> wie dann? :/
wie gesagt muss diese $f$ im allgemeien nicht injektiv sein und dann ist der kern eben auch nicht trivial.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mo 03.12.2007 | | Autor: | gossyk |
also für img(f) schreibe ich f(v)
und für ker(f) schreibe ich (v - f(v)), dsa sind dann alle vektoren ohne die aus img(f)
damit ergibt sich v = f(v) [mm] \cap [/mm] (v - f(v)) und der schnitt ist einsehbar 0.
ich denke das ist richtig so(?)... aber das problem das ich noch habe, selbst wenn es so stimmt
an welcher stelle kommt denn f [mm] \circf=f [/mm] ins spiel.
ich verstehe einfach nicht wofür ich diese information verwenden soll.
es spielt doch derzeit keine rolle ob das gilt oder nicht....>.<
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Oh je, wenn Du genau sagen würdest, was jetzt gerade Deine Voraussetzungen sind und was Du beweisen möchtest, wäre die Sache leichter.
Du veranstaltest nämlich gerade ein Chaos.
Was soll v sein? Ein Vektor?
> also für img(f) schreibe ich f(v)
Wenn das so ist, kannst Du nicht für img(f) einfach f(v) schreiben, denn das eine ist eine Menge und das andere ein Vektor.
> und für ker(f) schreibe ich (v - f(v)),
Dasselbige Problem. Ker f ist eine Menge.
dsa sind dann alle
> vektoren ohne die aus img(f)
>
> damit ergibt sich v = f(v) [mm]\cap[/mm] (v - f(v)) und der schnitt
> ist einsehbar 0.
Ich faß es nicht!!!! Schneidest Du jetzt Vektoren??? Was soll das sein?????
> an welcher stelle kommt denn f [mm]\circf=f[/mm] ins spiel.
> ich verstehe einfach nicht wofür ich diese information
> verwenden soll.
Du willst zeigen, daß der Schnitt aus bild und kern nur die Null enthält, richtig?
Sei [mm] v\in [/mm] Bildf [mm] \cap [/mm] kernf
==> es gibt ein [mm] a\in [/mm] V mit f(a)=v und es ist f(v)=0
Nun wende auf f(a)=v die Abbildung f an und berücksichtige anschließend, daß f [mm] \circf=f [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
Du schreibst jetzt mal auf, was Du geren zeigen möchtest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Mo 03.12.2007 | | Autor: | gossyk |
das daoben sollten keine vektoren sein sondern mengen...hätte statt kleinem v das große V benutzen sollen.
ja ich wollte genau dsa zeigen, schnitt von kern und bild = {0} und mithilfe deiner wegweiser hab ich es jetzt geschafft vielen dank <3
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