epsilon-delta-Definition < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 01.01.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Zeige mit Hilfe der [mm] \epsilon-\delta-Definition [/mm] der Stetigkeit die folgenden Behauptungen:
(a) Die Funktion [mm] f:\IC\to\IC, [/mm] f(z)=z³ ist stetig
(b) Die Funktion [mm] f:\IC\to\IC, f(z)=\begin{cases} \bruch{Re z}{|z|}, & \mbox z\not=0 \\ 0, & \mbox z=0 \end{cases} [/mm] ist nicht stetig in [mm] z_0 [/mm] =0
(c) Die Funktion [mm] f:\IC\to\IC, f(z)=\begin{cases} \bruch{(Re z)^2}{|z|}, & \mbox z\not=0 \\ 0, & \mbox z=0 \end{cases} [/mm] ist stetig in [mm] z_0=0 [/mm] |
Hier find ich nicht so richtig einen Ansatz, vermutlich, weil ich die [mm] \epsilon-\delta-Definition [/mm] nicht so richtig raffe....was muss ich tun bzw. was muss ich finden oder eben nicht finden, um Stetigkeit zu beweisen/wiederlegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo side!
Für die [mm] $\varepsilon-\delta$-Stetigkeit [/mm] an der Stelle $a_$ musst Du zeigen, dass gilt:
[mm] $$\forall \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists \delta> [/mm] 0 \ : \ [mm] \left|f(x)-f(a)|<\varepsilon \text{ für alle } x\in D \text{ mit } |x-a|<\delta$$
In Worten:
$f_$ ist genau dann in $a_$ stetig, wenn gilt: der Funktionswert $f(x)_$ weicht beliebig wenig von $f(a)_$ ab, falls nur $x_$ hinreichend nahe bei $a_$ liegt.
Der Unterschied zu den reellen Funktionen ist hier mit den komplexen Funktionen, dass Du Dir Realteil und Imaginärteil separat ansehen und untersuchen musst.
Denn eine komplexe Funktion ist genau dann stetg, wenn sie sowohl in Realteil als auch in Imaginärteil stetig ist.
Gruß
Loddar
[/mm]
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