erzeugende Funktion < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:38 So 05.09.2004 | | Autor: | thongsong |
Hallo!
Ich habe hier eine Thema wo ich nicht weiter weiß. Es geht hierbei um die erzeugende Funktion. Die Aufgabe lautet: "Ermittle die erzeugende Funktion f(x) der folgenden Rekurrenz: [mm] a_0=2,a_1=17,a_n=5 a_{n-1}+4 a_{n-2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2". Gibt es da eine Fausregel, wie man vorgehen kann? Weiß leider nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Mo 06.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hi!
Es gibt tatsächlich einen allgmeinen Weg eine solche sogenannte "Differenzengleichung" zu lösen. Ich würde aber nicht behaupten, dass das normalerweise Schulstoff ist, aber ich wüsste nicht, wie deine Aufgabe anders zu lösen ist (außer die Aufgabenstellung ist falsch).
Es geht folgendermaßen:
1.Schreibe die Gleichung um in der Form
[mm] $\alpha a_n+ \beta a_{n-1} +\gamme a_{n-2}=0$
[/mm]
2.Bestimme die Nullstellen$ [mm] \lambda_1,\lambda_2$ [/mm] des Polynoms
[mm] $\alpha X^2 +\beta [/mm] X + [mm] \gamma [/mm] =0$
3.Die Lösung hat nun die Form
[mm] $a_n=a \lambda_1^n [/mm] + b [mm] \lambda_1^n$ [/mm] für gewisse $a,b$ die noch mit den Anfangsbedingungen [mm] $a_0=s, a_1=t$ [/mm] bestimmt werden müssen.
(Man kann das ganze auch mit Hilfe des Diagonalisierens von Matritzen machen, das führt aber darauf die Nullstellen des gleichen Polynoms zu bestimmen.)
Führt man das für deine Aufgabe durch, ergibt sich, wenn ich mich nicht verrechnet habe:
[mm] $a_n=\bruch{17}{\sqrt{41}} \left( \bruch{5+\sqrt{41}} {2}\right)^n [/mm] + [mm] \left(2-\bruch{17}{\sqrt{41}}\right) \left( \bruch{5-\sqrt{41}} {2} \right) [/mm] ^n$.
Glaube aber fast, dass ich mich entweder verrechnet habe, oder die Aufgabenstellung doch anders ist.
Gruß
dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:58 Mo 06.09.2004 | | Autor: | thongsong |
Hallo Dieter!
Danke dir, aber ich glaube nicht dass das die erzeugende Funktion ist. Eigentlich gehört dieses Thema zu Kombinatorik. Ich habe es fälschlicherweise "bei Lineare Algebra" gepostet. Ich frage mich dennoch, warum das jetzt unter Vektorrechnung fällt. Diesen Unterpunkt habe ich nicht ausgewählt.
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Hallo thonqsonq!
Bist du sicher, das die Rekurrenz, nicht folgende ist?
[mm]a_{n}=5a_{n-1}-4a_{n-2}[/mm]
Die Aufgabe wäre nämlich menschlicher!
Schöne Grüße,
Ladis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Mo 06.09.2004 | | Autor: | thongsong |
Ich Dusel. Habe mich vertan. [mm] a_1=7 [/mm] und nicht 17
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Di 07.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo thongsong!
Hast du die Aufgabe denn jetzt verstanden?
Wenn du vorher den (richtigen) Hinweis von Dieter verstanden hast, sollte es ja jetzt kein Problem mehr sein die Aufgabe mit den neuen Anfangswerten zu lösen.
Möchtest du uns vielleicht deine Lösung zur Kontrolle mitteilen?
Wenn du noch nicht weißt, wie die Aufgabe zu lösen ist, dann melde dich bitte noch einmal mit einer Frage und sage uns, welche Stelle in Dieters Vorgehen dir unklar ist. Wir helfen dir dann. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:05 Di 07.03.2006 | | Autor: | stephan23 |
Hallo,
ich habe auch eine Frage zur erzeugenden Funktion der Rekurrenz und zwar folgende Aufgabe :
a0 = 2, a1=3, an=4 an-1 (-) an-2 für n>=2
f(x) = ?
Wie kann man da vorgehen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Do 09.03.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Stephan!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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