erzeugende Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 So 15.04.2007 | | Autor: | lck |
| Aufgabe | Man berechne den Mittelwert der Binomitalverteilung und die mittlere quadratische Abweichung!Dazu berechne man die erzeugende Funktion [mm] F(x)=\summe_{n=0}^{N} [/mm] W(n) [mm] x^{n} [/mm] und erhalte die gewünschten Mittelwerte gemäß <n>=(d/dx)(F(x=1)) etc.
[mm] W(n)=\bruch{N!}{n!(N-n)!}p^{n} (1-o)^{N-n} [/mm] |
Hi!
Ich weiß irgendwie überhaupt nicht wie ich hier ansetzen soll!Hab noch nie mit erzeugenden Funktionen gearbeitet! Hat jemand eine Idee?
Gruß
Lck
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:58 So 15.04.2007 | | Autor: | lck |
Vielleicht sollte ich mein Frage etwas konkretisieren!
Hab F(X) ausgerechnet und einmal nach x abgeleitet und dann für x werte von 1-3 eingesetzt!Und was bringt mir das? Erkenne nicht wie mich das weiterbringen soll!
Ich soll doch zum Schluß auf den erwartungswert von n*p kommen oder hab ich das falsch verstanden?
Gruß
LCK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 So 15.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ganz einfach. Man muß es halt einmal gesehen haben:
[mm] F'(x)=\summe_{n=0}^{N} [/mm] W(n) [mm] nx^{n-1}
[/mm]
Also
F'(1)= [mm] \summe_{n=0}^{N} [/mm] W(n)n=<n>.
Du mußt das jetzt nur noch in Deiner Situation anwenden. Dazu vereinfache doch, falls Du es nicht schon getan hast, F(x) mit der binomischen Formel BEOVR Du ableitest und setze dann x=1 ein. Damit hast Du den Erwartungswert E=pN. Analog gilt
F''(1)= [mm] \summe_{n=0}^{N} [/mm] W(n) [mm] n(n-1)=\summe_{n=0}^{N} [/mm] W(n) [mm] n^2-E=E(n^2)-E
[/mm]
und mit etwas Bastelei kann die Varianz berechnet werden. Tipp
[mm] Var(n)=E(n^2)-E(n)^2=E(n^2)-E^2
[/mm]
Das Ergebnis sollte natürlich Npq=Np(1-p) sein.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 15.04.2007 | | Autor: | lck |
hi!
Danke für deine Hilfe!
Ich weiß irgendwie nicht was du mit vereinfachen meinst?Hier kann man die Binomische Formel doch gar nicht anwenden!wenn ich dich richtig verstanden habe, dann soll W(n) also vereinfacht p ergeben?Da bin ich noch meilenweilt von entfernt!
Fürchte ich brauch also noch eine weitere kleine Hilfestellung!
gruß
lck
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 15.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Es gilt
[mm] F(x)=(px+q)^N
[/mm]
oder so ähnlich. Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 15.04.2007 | | Autor: | lck |
hi!
Tut mir leid aber irgendwie komm ich damit auch nicht weiter!Und dabei hab ich gelsen das das mit den erzeugenden Funktionen so einfach sein soll!
Wie vereinfache ich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 15.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Du musst einfach nur noch ableiten und x=1 setzen:
[mm] F'(x)=Np(px+q)^{N-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow =F'(1)=Np(p+q)^{N-1}=Np\cdot 1^{N-1}=Np
[/mm]
wegen p+q=1. Analog für die quadratische Abweichung.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 15.04.2007 | | Autor: | lck |
Hi!
Achso meinst du das! Ich hab zwar den Erwartungswert jetzt auf einem anderen Wege ausgerechnet, aber dein Ansatz ist natürlich viel viel einfacher!
hab trotzdem noch mal 2 fragen:
(1) woher weißt du das p+q=1 ist?
(2) bei der varianz komm ich nicht auf das richtige ergebnis:
F´´(x)=Np (N-1) [mm] (px+q)^{N-2}*p
[/mm]
=> F´´(1)= Np²(N-1) und das ist nicht dasselbe wie Np(1-P)
Wüßte nicht wo mein Fehler liegt?!
Gruß und ein großes Dankeschön sendet
LCK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 15.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
q=1-p ist einfach eine Konvention in unserer Situation. Zur zweiten Frage folgendes:
[mm] F''(1)=E(n^2)-E(n),
[/mm]
aber wir wollen ja [mm] V(n)=E(n^2)-E(n)^2 [/mm] haben. Also
[mm] V(n)=F''(1)+E(n)-E(n)^2=p^2N(N-1)+pN-p^2N^2=pN(pN-p+1-pN)=pN(1-p)
[/mm]
wie es sein soll. Ich würde mir die Sache übrigens nicht mit der char. Funktion überlegen, sondern mir denken, dass N-mal unabhängig ein Bernoulli Experiment(heißt das so?) durchgeführt wird und man dann aufsummiert. Damit sind aber Erwartungswert und quadratische Abweichung des N-fachen Versuchs genau das N-fache der entsprechenden Werte für den einmaligen Versuch, der trivialerweise den Erwartungswert p und die Varianz p(1-p) hat.
Volker
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