existenz p-Sylowuntergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe im Skript folgenden Satz:
Sei $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl mit [mm] $p|\#G$, [/mm] dann existiert eine p-Sylowuntergruppe von $G$.
Dies bedeutet doch, dass eine Primzahl, welche die Gruppenordnung teilt die Existenz einer p-Sylowuntergruppe impliziert und nicht, dass es für jede Primzahl eine solche Untergruppe gibt, richtig?
Also wenn etwa [mm] $\#G=30=2\cdot 3\cdot [/mm] 5$.
Dann besagt der Satz nun nicht, dass es eine 2-Sylowuntergruppe und 3-Sylowuntergruppe und 5-Sylowuntergruppe gibt. Sondern nur, dass es mindestens eine dieser dreien gibt.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 05.05.2016 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ich habe im Skript folgenden Satz:
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> Sei [mm]G[/mm] eine endliche Gruppe und [mm]p[/mm] eine Primzahl mit [mm]p|\#G[/mm],
> dann existiert eine p-Sylowuntergruppe von [mm]G[/mm].
>
>
> Dies bedeutet doch, dass eine Primzahl, welche die
> Gruppenordnung teilt die Existenz einer p-Sylowuntergruppe
> impliziert
genau. Und da du keine Einschränkung an die Primzahl hast, gilt das für alle Primzahlen, welche die Gruppenordnung teilen. Es gilt also auch:
> dass es für jede Primzahl eine
> solche Untergruppe gibt, richtig?
Und zwar ohne "nicht".
> Also wenn etwa [mm]\#G=30=2\cdot 3\cdot 5[/mm].
> Dann besagt der
> Satz nun nicht, dass es eine 2-Sylowuntergruppe und
> 3-Sylowuntergruppe und 5-Sylowuntergruppe gibt.
Doch, das besagt er. Ansonsten müsste der Satz lauten:
"Es gibt eine Primzahl $p$ mit $p [mm] \mid [/mm] #G$ und dass es eine $p$-Sylow-Untergruppe von $G$ gibt."
LG Felix
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