exp(G) = max{ord(g) : g in G} < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $G$ eine endliche abelsche Grupp. Dann gilt:
[mm] $m=\text{kgV }\left\{\text{ord g}:g\in G\right\}=\text{max }\left\{\text{ord g}:g\in G\right\}=k$ [/mm] |
Sei $n:=|G|$. Da
[mm] $g^n=1$ $\forall g\in [/mm] G$
gilt
[mm] $\text{ord }g\;|\;n$ $\forall g\in [/mm] G$
Das bedeutet, dass $n$ gemeinsames Vielfaches aller Elementordnungen ist [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $k\;|\;n$
[/mm]
An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Wie zeige ich, dass $m=k$ sein muss? Hoffe ihr habt eine Idee.
Liebe Grüße und noch einen schönen Feiertag.
Differential
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Hi nochmal,
Habe Blödsinn geschrieben. Kennst du die Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen? Damit solltest du es zeigen können.
Liebe Grüße und sry nochmal 
UniversellesObjekt
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Hallo,
du meinst, dass die endlichen abelschen Gruppen als direktes Produkt zyklischer Untergruppen dargestellt werden können?
Mir ist nicht klar, wie genau mir das hier weiterhilft.
Gruß
Differential
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Ja. Genauer kannst du die Gruppe als direkte Summe ihrer $ p $-Gruppen für paarweise verschiedene Primzahlen $ p $ schreiben und jede von diesen als direkte Summe zyklischer Gruppen. Jede dieser $ p $-Gruppen hat dann offenbar als Exponent das Maximum der Elementordnungen. Außerdem verhalten sich sowohl Exponent, als auch Elementordnungen multiplikativ in dem Sinne, dass $ exp [mm] (H\oplus [/mm] K)=exp (H) exp (K) $ gilt, für $ exp (H) $ teilerfremd zu $ exp (K) $, gilt, und $ ord (g+h)=ord (g) ord (h)$ gilt, falls ord (g) und ord (h) teilerfremd sind. Ich habe alles additiv geschrieben, ich hoffe, das macht dir nichts aus.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Also: $G$ ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, die von $m$ Elementen ($m$ minimal) erzeugt werde. Es gibt [mm] $0\le r\le [/mm] m$, [mm] $n_1,\ldots,n_r\in\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $n_i \;|\;n_{i+1}$ [/mm] und
[mm] $G\cong C_{n_1}\oplus \cdots \oplus C_{n_r}\oplus \mathbb{Z}^{m-r}$
[/mm]
Was folgt daraus nun genau? Ich habe schon im Eingangsbeitrag festgestellt, dass [mm] $k=\text{kgV }\left\{\text{ord }\sigma : \sigma\in G\right\}$ [/mm] ein Teiler von $m:=|G|$ ist. Das bedeutet dann, dass $k [mm] \;|\; n_i$ [/mm] für alle [mm] $n_i$ [/mm] gelten muss, richtig?
Was kann ich aufgrund der Isomorphie oben über die Ordnung der Gruppenelemente sagen?
Gruß
Differential
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Fr 18.04.2014 | | Autor: | felixf |
Moin Differential!
> Also: [mm]G[/mm] ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, die von
> [mm]m[/mm] Elementen ([mm]m[/mm] minimal) erzeugt werde. Es gibt [mm]0\le r\le m[/mm],
> [mm]n_1,\ldots,n_r\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]n_i \;|\;n_{i+1}[/mm] und
> [mm]G\cong C_{n_1}\oplus \cdots \oplus C_{n_r}\oplus \mathbb{Z}^{m-r}[/mm]
>
> Was folgt daraus nun genau?
Zeige zwei Dinge:
(i) die Ordnung eines jedes Elementes in $G$ teilt [mm] $n_r$;
[/mm]
(ii) es gibt in $G$ ein Element der Ordnung [mm] $n_r$.
[/mm]
Daraus folgt sofort die Behauptung.
> Ich habe schon im
> Eingangsbeitrag festgestellt, dass [mm]k=\text{kgV }\left\{\text{ord }\sigma : \sigma\in G\right\}[/mm]
> ein Teiler von [mm]m:=|G|[/mm] ist.
Ja.
> Das bedeutet dann, dass [mm]k \;|\; n_i[/mm]
> für alle [mm]n_i[/mm] gelten muss, richtig?
Nein. Es gilt nur $k [mm] \mid n_r$ [/mm] (genauer: $k = [mm] n_r$), [/mm] und $k [mm] \mid n_i$ [/mm] gilt nur genau dann, wenn [mm] $n_i [/mm] = [mm] n_r$ [/mm] ist (das kann fuer mehr als ein $i$ der Fall sein).
> Was kann ich aufgrund der Isomorphie oben über die Ordnung
> der Gruppenelemente sagen?
Isomorphismen erhalten die Elementordnung. Also $ord(g) = [mm] ord(\varphi(g))$ [/mm] fuer jeden Isomorphismus [mm] $\varphi$.
[/mm]
Die Behauptung fuer $G$ zu zeigen ist also genau das gleiche, als die Behauptung fuer [mm] $C_{n_1} \times \dots \times C_{n_r}$ [/mm] zu zeigen (wenn $G [mm] \cong C_{n_1} \times \dots \times C_{n_r}$). [/mm] Und im Produkt [mm] $C_{n_1} \times \dots \times C_{n_r}$ [/mm] ist die Behauptung ziemlich einfach zu zeigen (siehe (i) und (ii) oben).
LG Felix
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Hallo Felix,
zu (i): Für jedes [mm] $g\in C_{n_i}$ [/mm] gilt [mm] $\text{ord }g\;|\;n_i\;|\;n_r$. [/mm] Aber nicht jedes [mm] $g\in C_{n_1}\oplus\cdots\oplus C_{n_r}$ [/mm] muss in einem [mm] $C_{n_i}$ [/mm] liegen. Warum folgt, dass [mm] $\text{ord }g\;|\;n_r$ [/mm] gilt?
zu (ii): Das scheint mir im Produkt der [mm] $C_{n_i}$ [/mm] trivial zu sein - wie "zeige" ich das?
Liebe Grüße
Toasten
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Also (i) habe ich jetzt zeigen können. Aber warum muss es ein Element mit Ordnung [mm] $n_r$ [/mm] geben?
Gruß
Differential
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 21.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 20.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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