extremalstellen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Di 03.05.2005 | | Autor: | doener |
gegeben ist folgende funktion:
f(x,y,z) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2}
[/mm]
wie kann ich mathematisch korrekt zeigen, dass diese funktion als extremalstellen nur ein minimum aber kein maximum haben kann?
mein ansatz war folgender: ich dachte analog zur funktion g(x) = [mm] x^{2} [/mm] ist auch f(x) eine parabel, und zwar eine konvexe parabel, da [mm] \bruch{ \partial^{2} f}{ \partial x^{2} } [/mm] = 2 > 0, [mm] \bruch{ \partial^{2} f }{ \partial y^{2} } [/mm] = 2 > 0, [mm] \bruch{ \partial^{2} f}{ \partial z^{2}} [/mm] = 2 > 0
für funktionen mit nur einer variablen reicht es ja die 2 ableitung auszurechnen und zu schauen, ob sie >0 oder <0 ist. geht das auch bei funktionen mit mehreren variablen so wie f(x)?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 03.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi doener!
> gegeben ist folgende funktion:
>
> f(x,y,z) = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm]
>
> wie kann ich mathematisch korrekt zeigen, dass diese
> funktion als extremalstellen nur ein minimum aber kein
> maximum haben kann?
>
> mein ansatz war folgender: ich dachte analog zur funktion
> g(x) = [mm]x^{2}[/mm] ist auch f(x) eine parabel, und zwar eine
> konvexe parabel, da [mm]\bruch{ \partial^{2} f}{ \partial x^{2} }[/mm]
> = 2 > 0, [mm]\bruch{ \partial^{2} f }{ \partial y^{2} }[/mm] = 2 >
> 0, [mm]\bruch{ \partial^{2} f}{ \partial z^{2}}[/mm] = 2 > 0
>
> für funktionen mit nur einer variablen reicht es ja die 2
> ableitung auszurechnen und zu schauen, ob sie >0 oder <0
> ist. geht das auch bei funktionen mit mehreren variablen so
> wie f(x)?
Ja, so ähnlich. Die Kandidaten für lokale Extrema kannst du ja mithilfe der Jacobi-Matrix von $f$ berechnen (![[]](/images/popup.gif) Definition 19.8, S. 187, skriptinterne Zählung, und wegen Satz 19.10 ist das nichts anderes als die Ableitung $Df$), hier wäre:
[m]J_f(x,\,y,\,z)= \pmat{ 2x, & 2y, & 2z}[/m], was wieder nach Definition 19.9 nichts anderes als [mm] $grad\; f(x,\,y,\,z)$ [/mm] ist.
Wegen Satz 20.17 hat $f$ an [mm] $x^{(0)}=(x^{(0)}_1,\,x^{(0)}_2,\,x^{(0)}_3) \in \IR^3$ [/mm] ein lokales Extremum, falls [mm] $grad\,f(x^{(0)})=(0,\,0,\,0)$, [/mm] und damit kommt nur [mm] $x^{(0)}=(0,\,0,\,0)$ [/mm] als Extremalstelle in Frage. Weiter ist aber hier die Hessematrix (Bemerkung 20.16, S. 200)
[mm]H_f(x,\,y,\,z)=\pmat{2&0&0\\0&2&0 \\0&0&2}[/mm]
stets positiv definit, da zum Beispiel die zugehörigen Eigenwerte stets alle $=2$ und damit alle $> 0$ sind (Bemerkung 20.20.2) [mm] $(\star)$.
[/mm]
Damit kann an dem Kandidaten [mm] $x^{(0)}=(0,\,0,\,0)$ [/mm] für die Extremstelle wegen Satz 20.21 nur ein lokales Minimum von $f$ vorliegen.
(Eine andere Überlegung zur Minimalstelle:
Ganz elementar kann man sich das auch so überlegen:
Es gilt: [mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \ge [/mm] 0$ [mm] $\forall (x,\,y,\,z) \in \IR^3$. [/mm] Jetzt erkennt man sofort, dass $f(x,y,z)=0$ [mm] $\gdw$ $(x,\,y,\,z)=(0,\,0,\,0)$, [/mm] also ist jedenfalls [mm] $x^{(0)}=(0,\,0,\,0)$ [/mm] eine globale (und damit auch lokale) Minimalstelle von $f$.)
$f$ hat also ein Minimum, aber kein Maximum (hier reicht es, als Begründung anzugeben, dass die Hessematrix [mm] $H_f(x,y,z)$ [/mm] stets positiv definit ist! Hätte nämlich $f$ ein lokales Maximum (beachte, dass ein globales Maximum insbesondere ein lokales Maximum ist!), so müßte es wegen Satz 20.21.4 ein [mm] $y^{(0)}=(y^{(0)}_1,\,y^{(0)}_2,\,y^{(0)}_3) \in \IR^3$ [/mm] geben, so dass [mm] $H_f(y^{(0)})=H_f(y^{(0)}_1,y^{(0)}_2,y^{(0)}_3)$ [/mm] negativ semidefinit wäre, was aber wegen [mm] $(\star)$ [/mm] nicht sein kann).
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
|
