f(1/n) = 1/(n+1) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Do 08.11.2012 | | Autor: | Nisse |
| Aufgabe | | Finde $f$ holomorph um $0$ mit [mm] $f(\frac{1}{n})= \frac{1}{n+1} \quad\forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] oder zeige, dass $f$ nicht existieren kann. |
Ich habe hier eine Teilaufgabe, mit der ich nicht weiterkommen (Die anderen drei ähnlichen Aufgaben habe ich hinbekommen).
Die Aufgabe schreit geradezu nach Identität-Satz, da wir nur Informationen über eine nicht-diskrete Menge (Häufungspunkt bei Null) von Fkt-Werten erhalten, aber ich scheitere daran, die Funktion als $f(z)=$ unabhängig von n auszudrücken.
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> Finde [mm]f[/mm] holomorph um [mm]0[/mm] mit [mm]f(\frac{1}{n})= \frac{1}{n+1} \quad\forall n \in \mathbb{N}[/mm]
> oder zeige, dass [mm]f[/mm] nicht existieren kann.
> Ich habe hier eine Teilaufgabe, mit der ich nicht
> weiterkommen (Die anderen drei ähnlichen Aufgaben habe ich
> hinbekommen).
>
> Die Aufgabe schreit geradezu nach Identität-Satz, da wir
> nur Informationen über eine nicht-diskrete Menge
> (Häufungspunkt bei Null) von Fkt-Werten erhalten, aber ich
> scheitere daran, die Funktion als [mm]f(z)=[/mm] unabhängig von n
> auszudrücken.
Guten Tag Nisse,
könnte man da nicht einfach mal [mm] \frac{1}{n} [/mm] durch z ersetzen
und die entsprechende Substitution durchführen ?
So kommt man auf [mm] f(z)=\frac{z}{z+1} [/mm] , und diese Funktion
ist (zumindest in einer Umgebung des Nullpunktes)
holomorph.
LG
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Do 08.11.2012 | | Autor: | Nisse |
Danke, genau da hatte ich mein Brett-vorm-Kopf; ich kam immer wieder nur auf $f(z)=z+1$.
Setze [mm] $z:=\frac{1}{n}$, [/mm] also [mm] $n=\frac{1}{z}$. [/mm] Dann ist [mm] $f(z)=\frac{1}{\frac{1}{z}+1}=\frac{1}{\frac{1+z}{z}}=\frac{z}{1+z} [/mm] holomorph um 0 und wegen ID-Satz einzige Lösung.
Klasse, und nochmals danke!
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> Danke, genau da hatte ich mein Brett-vorm-Kopf; ich kam
> immer wieder nur auf [mm]f(z)=z+1[/mm].
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> Setze [mm]$z:=\frac{1}{n}$,[/mm] also [mm]$n=\frac{1}{z}$.[/mm] Dann ist
> [mm]$f(z)=\frac{1}{\frac{1}{z}+1}=\frac{1}{\frac{1+z}{z}}=\frac{z}{1+z}[/mm]
> holomorph um 0 und wegen ID-Satz einzige Lösung.
>
> Klasse, und nochmals danke!
Gern geschehen !
Und mit diesen Brettern ist das halt so eine Sache ...
Wenn ich alle beiseite gelegt hätte, die ich schon jemals
vor dem Kopf hatte, hätte ich heute bestimmt genügend
Material für eine schöne Hütte ... 
LG, Al-Chw.
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