f Pol -> exp wesentlich < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Mi 24.08.2011 | | Autor: | Harris |
Hi! Ich würde gerne wissen, ob die Begründung, dass die Exponentialfunktion in einem Pol eine wesentliche Singularität hat, so passt:
$U$ offen, [mm] $f:U\setminus\{0\}\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph und $f(z)$ habe Pol $n$-ter Ordnung in $0$. Zu zeigen: $exp(f(z))$ hat wesentliche Singularität in $0$.
- Hat $exp(f(z))$ eine hebbare Singularität, so ist sie auf ganz $U$ holomorph. Insbesondere ist ihre Ableitung auf ganz $U$ holomorph.
Nun ist $(exp(f(z)))'=f'(z)exp(f(z))$ und da $f(z)$ einen Pol $n$-ter Ordnung in $0$ hat, hat $f'(z)$ einen Pol $n+1$-ter Ordnung in $0$. $exp(f(z))$ hat hebbare Singularität, also hat $(exp(f(z)))'$ einen Pol. Widerspruch.
- Hat $exp(f(z))$ einen Pol $k$-ter Ordnung in $0$, so hat $exp(f(z))'$ einen Pol $k+1$-ter Ordnung in $0$. Aber:
$exp(f(z))'=f'(z)exp(f(z))$ und da $f$ Pol hat, hat $f'$ mindestens Pol $2$-ter Ordnung, insgesamt macht das einen Pol von mindestens $2+n$-ter Ordnung.
- Also bleibt nur noch die wesentliche Singularität übrig.
Passt das so? Geht das irgendwie schneller und direkter?
Und nochwas: Wenn $f$ in $0$ eine wesentliche Singularität hat, was hat dann $exp(f(z))$ in $0$?!? Auch eine wesentliche?
Grüße,
Harris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Mi 24.08.2011 | | Autor: | cycore |
Hallo,
> [...]
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> [mm]U[/mm] offen, [mm]f:U\setminus\{0\}\rightarrow\IC[/mm] holomorph und [mm]f(z)[/mm]
> habe Pol [mm]n[/mm]-ter Ordnung in [mm]0[/mm]. Zu zeigen: [mm]exp(f(z))[/mm] hat
> wesentliche Singularität in [mm]0[/mm].
>
> - Hat [mm]exp(f(z))[/mm] eine hebbare Singularität, so ist sie auf
> ganz [mm]U[/mm] holomorph. Insbesondere ist ihre Ableitung auf ganz
> [mm]U[/mm] holomorph.
> Nun ist [mm](exp(f(z)))'=f'(z)exp(f(z))[/mm] und da [mm]f(z)[/mm] einen Pol
> [mm]n[/mm]-ter Ordnung in [mm]0[/mm] hat, hat [mm]f'(z)[/mm] einen Pol [mm]n+1[/mm]-ter Ordnung
> in [mm]0[/mm]. [mm]exp(f(z))[/mm] hat hebbare Singularität, also hat
> [mm](exp(f(z)))'[/mm] einen Pol. Widerspruch.
>
Passt :)
> - Hat [mm]exp(f(z))[/mm] einen Pol [mm]k[/mm]-ter Ordnung in [mm]0[/mm], so hat
> [mm]exp(f(z))'[/mm] einen Pol [mm]k+1[/mm]-ter Ordnung in [mm]0[/mm]. Aber:
> [mm]exp(f(z))'=f'(z)exp(f(z))[/mm] und da [mm]f[/mm] Pol hat, hat [mm]f'[/mm]
> mindestens Pol [mm]2[/mm]-ter Ordnung, insgesamt macht das einen Pol
> von mindestens [mm]2+n[/mm]-ter Ordnung.
>
Passt auch, aber ich würde beide mit "Hätte" einleiten...geschmackssache..
> - Also bleibt nur noch die wesentliche Singularität
> übrig.
>
> Passt das so? Geht das irgendwie schneller und direkter?
Das ist analog zu meiner Antwort in https://matheraum.de/read?t=816750
nur habe ich da eine Notation dafür eingeführt. Deshalb sieht das kürzer aus, aber ich habe auch den hebbaren Fall unterschlagen weil ich es für klar hielt. Da findest du auch die Antwort auf deine Letzte Frage in der Antwort von FRED.
>
> Und nochwas: Wenn [mm]f[/mm] in [mm]0[/mm] eine wesentliche Singularität
> hat, was hat dann [mm]exp(f(z))[/mm] in [mm]0[/mm]?!? Auch eine wesentliche?
>
> Grüße,
> Harris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 25.08.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Passt das so? Geht das irgendwie schneller und direkter?
Da kannst die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion benutzen, die ja in ganz [mm] $\IC$ [/mm] konvergiert.
Im einfachsten Fall [mm] $f(z)=\bruch{1}{z^n}$ [/mm] hast du
[mm] \exp f(z) = \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} \bruch{1}{z^{kn}} [/mm] ,
also eine Laurentreihe mit unendlichem Hauptteil, die im Kreisring [mm] $\IC\backslash\{0\}$ [/mm] konvergiert.
Eine allgemeine Funktion $f(z)$ mit einem Pol n-ter Ordnung kannt du schreiben als
[mm] f(z) = \bruch{1}{z^n} g(z) [/mm]
mit einer holomorphen Funktion g, die im Punkt 0 nicht verschwindet, und wegen
[mm] \exp f(z) = (\exp g(z))* \exp \bruch{1}{z^n} [/mm]
liegt wieder eine wesentliche Singularität vor.
> Und nochwas: Wenn [mm]f[/mm] in [mm]0[/mm] eine wesentliche Singularität
> hat, was hat dann [mm]exp(f(z))[/mm] in [mm]0[/mm]?!? Auch eine wesentliche?
Geh die obige Argumentation genauso durch!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Do 25.08.2011 | | Autor: | cycore |
Hi,
> > [...]
> > Und nochwas: Wenn f in 0 eine wesentliche Singularitäthat, was hat dann [mm]exp(f(z))[/mm] in [mm]0[/mm]?!? Auch eine wesentliche?
>
> Geh die obige Argumentation genauso durch!
>
Das sehe ich anders das ist Problematisch in Potenzreihen. Die Argumentation die ich mir dazu vorstelle wenn das "analog" o.ä. gehen soll benutzt doch sicherlich ein "dann ist der Hauptteil nicht Endlich weil..."-Argument und die (die ich da im Sinne habe) halte ich für unzufriedenstellend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Di 30.08.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
> > > [...]
> > > Und nochwas: Wenn f in 0 eine wesentliche Singularitäthat,
> was hat dann [mm]exp(f(z))[/mm] in [mm]0[/mm]?!? Auch eine wesentliche?
> >
> > Geh die obige Argumentation genauso durch!
> >
>
> Das sehe ich anders das ist Problematisch in Potenzreihen.
> Die Argumentation die ich mir dazu vorstelle wenn das
> "analog" o.ä. gehen soll benutzt doch sicherlich ein "dann
> ist der Hauptteil nicht Endlich weil..."-Argument und die
> (die ich da im Sinne habe) halte ich für
> unzufriedenstellend.
Oh das geht schon, es ist aber äußerst mühsam, da man Bedingungen an die Koeffizienten der Laurententwicklung von f herleiten muss.
Folgendes Argument geht aber: Offensichtlich hat [mm] $e^{f(z)}$ [/mm] in 0 eine isolierte Singularität. Sie ist nicht hebbar, weil die Exponentialfunktion (und damit ihre Ableitung) den Wert 0 nicht annimmt und daher in einer Umgebung eines jeden Punktes in [mm] $\IC\backslash \{0\}$ [/mm] eine stetige Umkehrfunktion besitzt (die sogar holomorph ist) - das folgt aus dem Satz über implizite Funktionen.
Wäre diese hebbare Singularität ein Pol, so hätte [mm] $e^{-f(z)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{f(z)}}$ [/mm] eine Nullstelle in 0 - aber die Exponentialfunktion nimmt den Wert 0 nie an.
Viele Grüße
Rainer
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