f konstant Parametrisierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: R hoch 2 --> R eine differenzierbare Abbildung mit
Jf(x,y) = (x,y) für alle (x,y) [mm] \in [/mm] R hoch 2.
Zeigen Sie, dass f auf jedem Kreis Sr = [mm] \{(x,y) \in R hoch 2 : \wurzel[]{x^{2} + y^{2}= r}\} [/mm] um den Nullpunkt mit Radius r> 0 konstant ist. |
Ich weiß bei dieser aufgabe irgendwie nicht wie ich die angabe mit der Jacobi matrix verwerten soll. Ich würde zunächst einmal eine Parametrisierung von Sr verwenden: [mm] \{(rcost,rsint) ; t \in [0,2Pi[ \}. [/mm] Aber dann weiß ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei f: [mm] \IR^2 [/mm] --> [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit
> Jf(x,y) = (x,y) für alle (x,y) [mm]\in[/mm] [mm] \IR^2.
[/mm]
> Zeigen Sie, dass f auf jedem Kreis [mm] S_r [/mm] = [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : \wurzel{x^2 + y^2}= r\}[/mm]
> um den Nullpunkt mit Radius r> 0 konstant ist.
> Ich weiß bei dieser aufgabe irgendwie nicht wie ich die
> angabe mit der Jacobi matrix verwerten soll. Ich würde
> zunächst einmal eine Parametrisierung von [mm] S_r [/mm] verwenden:
> [mm]\{(r*cost, r*sint) : t \in [0,2Pi[ \}[/mm]. Aber dann weiß ich
> nicht weiter.
Nennen wir diese Parametrisierung mal [mm]\gamma_r: [0,2 \pi) \to \IR^2, t \mapsto \gamma_r(t) := (r*cos t, r*sin t)[/mm].
Jetzt schau dir mal die Abbildung [mm]f \circ \gamma_r[/mm] an.
Welche Eigenschaft sollte diese Abbildung haben, damit die Aufgabe gelöst wäre?
Wie könnte man diese Eigenschaft mit Hilfe von Ableitungen nachweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 29.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Bestimme aus
$Jf(x,y) = (x,y)$ für alle (x,y) $ [mm] \in [/mm] $ [mm] \IR^2
[/mm]
die Abbildung f
Es kommt heraus : $f(x,y) = [mm] 1/2(x^2+y^2) [/mm] +C$
FRED
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