f nilpotent auf Ebene < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Di 05.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei $f$ in $End ~ [mm] \IR^{3}$ [/mm] mit Matrix [mm] $\Psi [/mm] (f) = [mm] \vektor{1 & 1 & 1 \\ 1&1&1 \\ 1&1&1}$.
[/mm]
a) Finde eine Ebene $E$ und eine Gerade $G$ mit [mm] $\IR^{3}=E \oplus [/mm] G$, so dass [mm] $f(E)\subset [/mm] E, [mm] f(G)\subset [/mm] G$ und $f$ nilpotent auf $E$ ist.
b) Berechne $det~f$ auf G
c) Zeige, dass es eine Basis $B$ von [mm] $\IR^{3}$ [/mm] gibt, mit [mm] $\Psi_{B}(f)=\vektor{0&0&0\\0&0&0\\0&0&3}$ [/mm] |
Hallo,
Die direkte Summe bedeutet ja dass [mm] $G\cap [/mm] E$ leer sein muss.
Das charakteristische Polynom der Abbildung: [mm] $3x^{2}-x^{3}$ [/mm] und dadurch die Eigenwerte: [mm] $\lambda_{1}=3 [/mm] ~ und~ [mm] \lambda_{1/2}=0$ [/mm] erhalten und daraus folgen die Basen der Eigenräume: [mm] $\vektor{1\\1\\1},\vektor{-1\\0\\1}, \vektor{-1\\1\\0}$. [/mm] So jetzt die Jordanform berechnen: [mm] $\vektor{0&0&0\\0&0&0\\0&0&3}$
[/mm]
Als Ebene nehme ich: [mm] $\vektor{-1&-1&0\\0&1&0\\1&0&0}$ [/mm] und als Gerade: [mm] $\vektor{1&0&0\\1&0&0\\1&0&0}$
[/mm]
beides mit der Jordanform verrechnet gibt wieder die jordanform also sind die Teilmengenbedingungen erfüllt.
b) was ist mit det f auf G gemeint? Wenn f nilpotent ist dann ist die determinante von f(G) doch 0 ???
c) Die Basis ist gerade die Jordanmatrix... den Rückweg machen zu [mm] $\vektor{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}$? [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 05.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]f[/mm] in [mm]End ~ \IR^{3}[/mm] mit Matrix [mm]\Psi (f) = \vektor{1 & 1 & 1 \\ 1&1&1 \\ 1&1&1}[/mm].
>
> a) Finde eine Ebene [mm]E[/mm] und eine Gerade [mm]G[/mm] mit [mm]\IR^{3}=E \oplus G[/mm],
> so dass [mm]f(E)\subset E, f(G)\subset G[/mm] und [mm]f[/mm] nilpotent auf [mm]E[/mm]
> ist.
Dieser Teil der Aufgabe wurde uebrigens schon hier behandelt.
> b) Berechne [mm]det~f[/mm] auf G
>
> c) Zeige, dass es eine Basis [mm]B[/mm] von [mm]\IR^{3}[/mm] gibt, mit
> [mm]\Psi_{B}(f)=\vektor{0&0&0\\0&0&0\\0&0&3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Die direkte Summe bedeutet ja dass [mm]G\cap E[/mm] leer sein muss.
Ja.
> Das charakteristische Polynom der Abbildung: [mm]3x^{2}-x^{3}[/mm]
> und dadurch die Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}=3 ~ und~ \lambda_{1/2}=0[/mm]
> erhalten und daraus folgen die Basen der Eigenräume:
> [mm]\vektor{1\\1\\1},\vektor{-1\\0\\1}, \vektor{-1\\1\\0}[/mm]. So
> jetzt die Jordanform berechnen:
> [mm]\vektor{0&0&0\\0&0&0\\0&0&3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als Ebene nehme ich: [mm]\vektor{-1&-1&0\\0&1&0\\1&0&0}[/mm] und als
> Gerade: [mm]\vektor{1&0&0\\1&0&0\\1&0&0}[/mm]
Das sind Matrizen, und keine Untervektorraeume.
> beides mit der Jordanform verrechnet gibt wieder die
> jordanform also sind die Teilmengenbedingungen erfüllt.
>
> b) was ist mit det f auf G gemeint? Wenn f nilpotent ist
> dann ist die determinante von f(G) doch 0 ???
Nun, mit [mm] "$\det [/mm] f$ auf $G$" ist die Determinante vom Endomorphismus [mm] $f|_G [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$ gemeint. Und [mm] $f|_G$ [/mm] ist eben nicht nilpotent.
> c) Die Basis ist gerade die Jordanmatrix... den Rückweg
> machen zu [mm]\vektor{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}[/mm]?
Du musst einfach die Transformationsmatrix angeben. Also die Eigenraeume ausrechnen. (Das machst du eigentlich auch schon bei a)).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 05.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Dieser Teil der Aufgabe wurde uebrigens schon hier behandelt.
> daumenhoch
> Das sind Matrizen, und keine Untervektorraeume.
$E: [mm] r\vektor{-1\\0\\1}+t\vektor{-1\\1\\0}$
[/mm]
$G: [mm] k\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
> F | G
Was bedeutet [mm] $F|_{G}$ [/mm] ?
> Transformationsmatrix
Also eine Transformationsmatrix ist die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren [mm] (v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] und die andere die Inverse davon.
> LG
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Di 05.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Dieser Teil der Aufgabe wurde uebrigens schon hier
> behandelt.
>
>
> > daumenhoch
>
> > Das sind Matrizen, und keine Untervektorraeume.
>
> [mm]E: r\vektor{-1\\0\\1}+t\vektor{-1\\1\\0}[/mm]
>
> [mm]G: k\vektor{1\\1\\1}[/mm]
>
>
> > F | G
>
> Was bedeutet [mm]F|_{G}[/mm] ?
Guck mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Mi 06.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
$det f auf G = [mm] \vektor{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1} \vektor{1&0&0\\1&0&0\\1&0&0} [/mm] = [mm] \vektor{3&0&0\\3&0&0\\3&0&0}$
[/mm]
Also ist die Determinante trotzdem 0.?
> LG
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mi 06.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> [mm]det f auf G = \vektor{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1} \vektor{1&0&0\\1&0&0\\1&0&0} = \vektor{3&0&0\\3&0&0\\3&0&0}[/mm]
>
> Also ist die Determinante trotzdem 0.?
Nein. Das was du da als Formel schreibst macht allerdings auch nicht viel Sinn.
Stell doch mal eine Basis von $G$ auf.
Dann stelle die Abbildungsmatrix von $f$ in Bezug auf diese Basis auf.
Wie sieht diese Matrix aus? Davon musst du die Determinante ausrechnen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Ich bin verwirrt weil G eine Gerade ist!
eine Basis von G ist: [mm] $\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1}$ [/mm] und f ist bezogen auf diese Basis wieder : [mm] $\vektor{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}$
[/mm]
Also ist die Determinante 1.?
> LG
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:29 Do 07.04.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
> und f ist bezogen auf diese Basis wieder :
> [mm]\vektor{1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1}[/mm]
>
> Also ist die Determinante 1.?
>
Sei mal dahingestellt ob die Matrix richtig ist oder nicht, aber wie kommst Du auf Determinante=1?
Wende doch den Laplace'schen Entwicklungssatz an! Dann hast Du:
[mm]\vektor{\red{1}&\red{1}&\red{1}\\
\blue{1}&\blue{1}&\blue{1}\\
\green{1}&\green{1}&\green{1}}[/mm]
[mm]\red{1}*(\blue{1}*\green{1}-\blue{1}*\green{1})\blue{-1}*(\red{1}*\green{1}-\red{1}*\green{1})\green{+1}*(\red{1}*\blue{1}-\red{1}*\blue{1})=1*0-1*0+1*0=0[/mm]
Ob die Matrix richtig ist habe ich jetzt nicht geguckt!
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> Hallo,
>
> Ich bin verwirrt weil G eine Gerade ist!
>
> eine Basis von G ist: [mm]\vektor{1\\
0\\
0}, \vektor{0\\
1\\
0}, \vektor{0\\
0\\
1}[/mm]
Hallo,
was für ein Blödsinn!
Es steht doch in der Aufgabe, daß G eine Gerade ist, also ein eindimensionaler Unterraum.
Die Gleichung dieser Geraden steht doch sogar schon in diesem Thread.
Was Du jetzt mit einer aus drei Vektoren bestehenden Basis willst, ist mir absolut schleierhaft.
Die von Dir angegebene Basis ist die Standardbasis des [mm] \IR^3, [/mm] was Du, wenn Du mal unverwirrten Sinnes draufschaust, erkennen solltest.
Du brauchst jetzt für die gesuchte Determinante erstmal die Darstellungsmatrix der Abbildung [mm] f|_{G}.Um [/mm] deren Darstellungsmatrix aufzustellen, benötigst Du eine Basis von G.
Dann erinnere Dich daran, wie man Darstellungsmatrizen bzgl. einer Basis ausfstellt und mach's halt. (Hinweis: die Matrix ist sehr klein - nicht daß Du Dich wunderst.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo lexjou und angela,
> falsche Determinante
> falsche Basis
Ok die Basis der Geraden ist einfach die Gerade selber? Also die Basis von G wäre [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm]
Und damit wäre die Abbildungsmatrix von f im Bezug auf diese Basis [mm] $\vektor{1&1&1\\0&0&0\\0&0&0}$
[/mm]
Und die Determinante von f auf g ist somit 0. ?
> GruB
> GruB
Danke !
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Do 07.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > falsche Determinante
>
> > falsche Basis
>
> Ok die Basis der Geraden ist einfach die Gerade selber?
> Also die Basis von G wäre [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm]
Ja.
> Und damit wäre die Abbildungsmatrix von f im Bezug auf
> diese Basis [mm]\vektor{1&1&1\\0&0&0\\0&0&0}[/mm]
Denk doch mal etwas nach. Die Basis hat 1 Element. Wieso hat die Darstellungsmatrix also nicht das Format $3 [mm] \times [/mm] 3$?!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> basis hat 1 element
na ja wenn nur $(1,1,1)$ die Abbildungsmatrix ist , dann muss ich davon die Determinante bestimmen aber das geht ja nicht! Deswegen habe ich das mit Nullen aufgefüllt so dass man die Determinante bestimmen kann... ?
> LG
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
>
> > basis hat 1 element
>
>
> na ja wenn nur [mm](1,1,1)[/mm] die Abbildungsmatrix ist , dann
> muss ich davon die Determinante bestimmen aber das geht ja
> nicht! Deswegen habe ich das mit Nullen aufgefüllt so dass
> man die Determinante bestimmen kann... ?
Mann, mann , das ist die reine Willkür !
Es war [mm] $G=\{k*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}: k \in \IR \}$. [/mm] G ist ein eindimensionaler Vektorraum mit der Basis [mm] $\{b\}$, [/mm] wobei [mm] $b=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
Der Endomorphismus $f:G [mm] \to [/mm] G$ hat also eine 1x1 - Abb. -matrix. Welche ?
FRED
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>
> > LG
>
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Welche
Die Abbildungsmatrix ist [mm] $\vektor{1}$ [/mm] und die Determinante ist 1.
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> > Welche
>
> Die Abbildungsmatrix ist [mm]\vektor{1}[/mm] und die Determinante
> ist 1.
Nein ! Nun sag mal, wie betreibst Du eigentlich Mathematik ? Das würde mich brennend interessieren. Wie bist Du auf obiges gekommen ?
Hast Du geraten ? Vielleicht.
Hast Du im Nebel gestochert ? Mit Sicherheit.
Hast Du gerechnet ? Mit Sicherheit nicht. Und das ist der Knackpunkt !
Um eine Abbildungsmatrix zu bestimmen, muß man doch auf jeden Fall die Bilder der Basiselemente berechnen. Oder ist Dir das neu ? Ich glaube kaum. FRAGE: warum tust Du es dann nicht ?
FRED
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>
> > FRED
>
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Um eine Abbildungsmatrix zu bestimmen, muß man doch auf jeden Fall die > > > Bilder der Basiselemente berechnen.
> rechne
Also: f(G)= [mm] $\vektor{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\vektor{1\\1\\1}= \vektor{3\\3\\3}$
[/mm]
Also ist die Abbildungsmatrix im bezug auf die Basis von G : [mm] $\vektor{3}$
[/mm]
Und die Determinante ist 3.
So?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> > Um eine Abbildungsmatrix zu bestimmen, muß man doch auf
> jeden Fall die > > > Bilder der Basiselemente berechnen.
>
> > rechne
>
> Also: f(G)= [mm]\vektor{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\vektor{1\\1\\1}= \vektor{3\\3\\3}[/mm]
>
> Also ist die Abbildungsmatrix im bezug auf die Basis von G
> : [mm]\vektor{3}[/mm]
>
> Und die Determinante ist 3.
>
>
> So?
Ja.
Gib mir bitte noch Antworten auf meine obigen Fragen.
FRED
>
> > FRED
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Do 07.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> geraten?
ja
> nebel
ja
> Wie bist Du auf obiges gekommen ?
Ich habe es nicht abgebildet und einfach so die Abbildungsmatrix gemacht .
> FRED
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
>
> > geraten?
>
> ja
>
> > nebel
>
> ja
>
> > Wie bist Du auf obiges gekommen ?
>
> Ich habe es nicht abgebildet und einfach so die
> Abbildungsmatrix gemacht .
nicht zu fassen ....
FRED
>
>
> > FRED
>
> Gruss
> kushkush
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> [mm]\vektor{1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1}[/mm]
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> Also ist die Determinante 1.?
>
Hallo,
da Du oben ausgerechnet hattest, daß die Eigenwerte 0 und 3 sind, solltest Du Dich an dieser Stelle über die von Dir berechnete Determinante wundern. (Alternativ: wundern über die Eigenwerte.)
Gruß v. Angela
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