f umkehrbar -> Jakobimatrix? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Mi 14.06.2006 | | Autor: | tempo |
| Aufgabe | Es sei
[mm] f:\IR^{2} [/mm] \ {(0,0)} [mm] \to \IR^{2} [/mm] , (x,y) [mm] \mapsto \vektor{x+\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \\ y-\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
Zeigen Sie, dass alle Punkte bis auf (-1,0) Umgebungen haben, auf welchen f umkehrbar ist!
Trifft dies auch für die Ausnahmepunkte zu? (Tip: Untersuchen Sie [mm] f|S^{1} [/mm] !) |
guten abend an alle die noch wach sind, habe mal eine frage zu oberer aufgabe. habe es mittels jakobimatrix bzw. jakobideterminante versucht zu lösen, die jakobimatrix habe ich und die determinante habe ich auch berechnet
(Jak.det.= [mm] \bruch{1-2x^{2}+2y^{2}-6x^{2}y^{2}+y^{4}+x^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{4}} [/mm] )
und jetzt stecke ich fest! weiß nicht wie ich weitermachen soll. wenn ich die punkte a=(-1,0) und b=(1,0) einsetze, bekomme ich det=0 d.h. jakobimatrix nicht invertierbar [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt keine umgebung auf der f (um a und b) umkehrbar ist. aber die det. für alle punkte (müsste ja [mm] \not= [/mm] 0 sein) ??? bin ich da überhaupt auf dem richtigen weg? der nenner ist ja immer >0 [mm] \to [/mm] also nur zähler betrachten, komme da aber (wegen 2 unbekannten und nur eine gleichung, d.h. ich bräuchte noch eine beziehung, aber welche/woher?). und der tip sagt mir überhauptnichts! was ist denn [mm] f|S^{1} [/mm] (f eingeschränkt auf "doppeltes" S hoch 1)? die stetigen funktionen werden ja mit C bezeichnet, was bezeichnet aber S ? (vielleicht kommts ja noch am freitag!?)
habe die frage (mit hoffnung auf tips/hinweise) in keinem anderen forum gestellt.
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Hallo,
> Es sei
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> [mm]f:\IR^{2}[/mm] \ {(0,0)} [mm]\to \IR^{2}[/mm] , (x,y) [mm]\mapsto \vektor{x+\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \\ y-\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
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> Zeigen Sie, dass alle Punkte bis auf (-1,0) Umgebungen
> haben, auf welchen f umkehrbar ist!
> Trifft dies auch für die Ausnahmepunkte zu? (Tip:
> Untersuchen Sie [mm]f|S^{1}[/mm] !)
> guten abend an alle die noch wach sind, habe mal eine
> frage zu oberer aufgabe. habe es mittels jakobimatrix bzw.
> jakobideterminante versucht zu lösen, die jakobimatrix habe
> ich und die determinante habe ich auch berechnet
>
> (Jak.det.=
> [mm]\bruch{1-2x^{2}+2y^{2}-6x^{2}y^{2}+y^{4}+x^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{4}}[/mm]
> )
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> und jetzt stecke ich fest! weiß nicht wie ich weitermachen
> soll. wenn ich die punkte a=(-1,0) und b=(1,0) einsetze,
> bekomme ich det=0 d.h. jakobimatrix nicht invertierbar
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt keine umgebung auf der f (um a und b)
> umkehrbar ist. aber die det. für alle punkte (müsste ja
> [mm]\not=[/mm] 0 sein) ??? bin ich da überhaupt auf dem richtigen
> weg? der nenner ist ja immer >0 [mm]\to[/mm] also nur zähler
> betrachten, komme da aber (wegen 2 unbekannten und nur eine
> gleichung, d.h. ich bräuchte noch eine beziehung, aber
> welche/woher?).
vielleicht kannst du einmal die jacobi-matrix posten bzw. wie du schrittweise auf die determinate kommst. evtl. kann man da mehr über mögliche nullstellen ablesen.
und der tip sagt mir überhauptnichts! was
> ist denn [mm]f|S^{1}[/mm] (f eingeschränkt auf "doppeltes" S hoch
> 1)? die stetigen funktionen werden ja mit C bezeichnet, was
> bezeichnet aber S ? (vielleicht kommts ja noch am
> freitag!?)
Die [mm] $S^1$ [/mm] ist die 1-dimensionale einheitssphäre, dh. [mm] $x,y\in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $x^2+y^2=1$.
[/mm]
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Do 15.06.2006 | | Autor: | tempo |
hi, also meine jakobimatrix sieht so aus:
-halt- sehe gerade einen fehler! die det. oben stimmt nicht!
also die matrix müsste so aussehen:
J= [mm] \pmat{ 1+\bruch{y^{2}-x^{2}}{(y^{2}+x^{2})^{2}} & \bruch{-2xy}{(y^{2}+x^{2})^{2}} \\ \bruch{-2xy}{(y^{2}+x^{2})^{2}} & 1-\bruch{x^{2}-y^{2}}{(y^{2}+x^{2})^{2}}}
[/mm]
ich berechne jetzt erstmal die det. neu...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:29 Do 15.06.2006 | | Autor: | tempo |
hi nochmal, also die det sieht bei mir nun so aus:
[mm] det(J)=1+\bruch{2y^{2}-2x^{2}}{(y^{2}+x^{2})^{2}}+\bruch{(y^{2}+x^{2})^{2}-8y^{2}x^{2}}{(y^{2}+x^{2})^{4}}
[/mm]
die punkte eingesetzt ergibts (immer noch ;) ) 0 und damit jakobimatrix nicht umkehrbar... aber was ist mit allen anderen punkten? wenn ich die einheitssphäre als umgebung nehme dann darf ich [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] nehmen oder? falls ja dann könnte ich die det. 'vereifachen' zu:
[mm] \to det(J)_{S^{1}} [/mm] = [mm] 4-4x^{2}-8y^{2}x^{2} [/mm] also falls [mm] x^{2}(1+y^{2})=1 [/mm] dann ist die det=0. habe jetzt aber das gefühl das es in die falsche richtung geht?! (da es dann noch mehr als nur die angegebenen punkte gäbe für die die det=0 ist; also einheitssphäre 'zu groß' als umgebung?)
Edit: also ich habe da gestern wohl den wald vor lauter bäumen nicht gesehen! auf jedenfall hats heute fast auf anhieb geklappt! genau wie es oben steht nur die einheitssphäre noch nach x oder y auflösen und einsetzen, dann kommen für det=0 nur die punkte raus die man gegeben hat, und damit führen alle anderen punkte zu einer det [mm] \not= [/mm] 0 ! also f in einer umgebung um alle anderen punkte umkehrbar (auf def. bereich!)! danke nochmal für den hinweis zur einheitssphäre. bitte als beantwortet markieren, -danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 17.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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