f(x)=sin (e^x), Diskussion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mi 15.06.2005 | | Autor: | JanSu |
Hallo miteinander.
Folgende Funktion interessiert mich:
f(x) = sin [mm] (e^{x}); [/mm]
Es wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob die bisherigen Ergebnisse richtig sind. Außerdem komme ich an einer bestimmten Stelle nicht weiter.
Kurvendiskussion
1. D = \ IR
2. Symmetrie: nicht ersichtlich
3. Nullstelllen:
sin x = 0, wenn x = [mm] k\pi, [/mm] k [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{x}= k\pi \Rightarrow x_{0}=ln (k\pi), [/mm] k [mm] \in \IZ
[/mm]
4. Ableitungen
f'(x) = [mm] e^{x}cos (e^{x});
[/mm]
f''(x) = [mm] e^{x}*cos (e^{x}) [/mm] - [mm] e^{2x}*sin (e^{x})=
[/mm]
= [mm] e^{x}(cos (e^{x}) [/mm] - [mm] e^{x}*sin (e^{x}));
[/mm]
5. Extrema
k [mm] \in \IZ, [/mm]
1. k gerade oder k=0:
HP: [mm] x_{1}= [/mm] ln [mm] (\bruch {\pi}{2}+k\pi)
[/mm]
2. k ungerade
TP: [mm] x_{2}= [/mm] ln [mm] (\bruch {\pi}{2}+k\pi)
[/mm]
Hier bin ich mir aber nicht sicher, weil die Funktion mit MathPlot geplottet für x<0 keine Extrema mehr aufweist, und sie für x>0 für größer werdende x-Werte immer dichter zusammen rücken - vielleicht geb ich es aber auch falsch ein.
6. Wendepunkte
f''(x) = 0 [mm] \gdw e^{x}(cos(e^{x})-e^{x}*sin (e^{x}))
[/mm]
Hier komme ich jetzt nicht wirklich weiter:
Substitution:
cos u - u*sin u = 0
cos u = u*sin u
u * [mm] \bruch [/mm] {sin u}{cos u}= 1
u * tan u = 1
tan u = [mm] \bruch{1}{u}
[/mm]
Das kann ich nicht auflösen und ich weiss auch nicht ob ich Grad- oder Bogenmaß verwenden muss, weil ich zugegebenermaßen etwas verwirrt bin.
Wenn sich jemand die Zeit nimmt, das bisherige mal durchzuschauen, wäre nett, danke schön.
MfG
-JanSu
(Diese Frage habe ich nur hier gestellt)
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Hi, JanSu,
supercoole Aufgabe!
> Folgende Funktion interessiert mich:
Interessiert die Funktion wirklich DICH?
Oder doch wen andern und Du sollst sie "bloß" lösen!
> f(x) = sin [mm](e^{x});[/mm]
>
> Es wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob die
> bisherigen Ergebnisse richtig sind. Außerdem komme ich an
> einer bestimmten Stelle nicht weiter.
>
> Kurvendiskussion
>
> 1. D = \ IR
>
> 2. Symmetrie: nicht ersichtlich
Richtig!
> 3. Nullstelllen:
>
> sin x = 0, wenn x = [mm]k\pi,[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow e^{x}= k\pi \Rightarrow x_{0}=ln (k\pi),[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm]
Musst natürlich k [mm] \in \IN [/mm] nehmen, da es den ln nur für positive Zahlen gibt.
Daher gibt's links von der y-Achse keine Nullstellen mehr.
>
> 4. Ableitungen
>
> f'(x) = [mm]e^{x}cos (e^{x});[/mm]
>
> f''(x) = [mm]e^{x}*cos (e^{x})[/mm] - [mm]e^{2x}*sin (e^{x})=[/mm]
>
> = [mm]e^{x}(cos (e^{x})[/mm] - [mm]e^{x}*sin (e^{x}));[/mm]
Beides richtig!
>
> 5. Extrema
>
> k [mm]\in \IZ,[/mm]
>
> 1. k gerade oder k=0:
> HP: [mm]x_{1}=[/mm] ln [mm](\bruch {\pi}{2}+k\pi)[/mm]
Analog zu den Nullstellen musst Du k [mm] \ge [/mm] 0 setzen.
Zudem würd ich lieber [mm] x_{1}= ln(\bruch {\pi}{2}+2k\pi) [/mm] schreiben:
Dann hast Du sicher GERADZAHLIGE Vielfache von [mm] \pi.
[/mm]
>
> 2. k ungerade
>
> TP: [mm]x_{2}=[/mm] ln [mm](\bruch {\pi}{2}+k\pi)[/mm]
Wie oben: Schreib lieber: [mm] x_{2}=ln(\bruch {\pi}{2}+(2k+1)\pi) [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] 0.
> Hier bin ich mir aber nicht sicher, weil die Funktion mit
> MathPlot geplottet für x<0 keine Extrema mehr aufweist,
Stimmt ja auch! Genauso wenig wie es dort Nullstellen gibt!
> und sie für x>0 für größer werdende x-Werte immer dichter
> zusammen rücken - vielleicht geb' ich es aber auch falsch
> ein.
Kannst ja mal für k = 0; 1; 2 eingeben und die zugehörigen x-Koordinaten für je 3 Hoch- und Tiefpunkte austrechen. Wirst sehen, wie sich der ln da auswirkt!
> 6. Wendepunkte
>
> f''(x) = 0 [mm]\gdw e^{x}(cos(e^{x})-e^{x}*sin (e^{x}))[/mm]
>
> Hier komme ich jetzt nicht wirklich weiter:
>
> Substitution:
>
> cos u - u*sin u = 0
>
> cos u = u*sin u
>
> u * [mm]\bruch[/mm] {sin u}{cos u}= 1
>
> u * tan u = 1
>
> tan u = [mm]\bruch{1}{u}[/mm]
>
> Das kann ich nicht auflösen und ich weiss auch nicht ob ich
> Grad- oder Bogenmaß verwenden muss, weil ich
> zugegebenermaßen etwas verwirrt bin.
Im Ganzen wird immer nur im Bogenmaß gerechnet, sonst hätten die Ergebnisse oben bereits nicht "in Abhängigkeit von [mm] \pi" [/mm] gebenen werden dürfen.
Für die Berechnung der Wendepunkte hilft Dir dieses Wissen aber auch nicht, denn ich vermute (sicher nicht zu Unrecht!), dass man die nur näherungsweise bestimmen kann!
Weiter kann ich Dir leider nicht helfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Fr 17.06.2005 | | Autor: | JanSu |
Hi Zwerglein, danke dir erstmal für deine Hilfe.
Dass der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist, ist ja mir eigentlich klar, aber irgendwie hatte ich es hier vergessen, grml. 
Und ja, die Funktion interessiert wirklich mich. Nachdem ich gerade in der Zeit zwischen bestandenem Abi und Zivildienst bin, gibt's nämlich niemanden mehr der irgendwas derartiges von mir will. *g*
MfG,
-JanSu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, JanSu,
ja,ja: Die Mathematik kann richtig süchtig machen, was?!
Du kannst aber ganz gut hier im Matheraum Dein Wissen weitergeben:
Beantworte halt Fragen der "Hilfesuchenden"!
Wirst sehen: Da sind sehr interessante Sachen dabei!
Und: Du brauchst Dir Deine Aufgaben nicht selbst zu stellen!
(Obwohl: Die Idee mit [mm] sin(e^{x}) [/mm] ist wirklich gut und ich wär' selbst nicht drauf gekommen!)
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