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| Aufgabe | Gegeben ist eine Ebene durch zwei sich schneidende Geraden bzw. durch zwei zueinander parallele Geraden g1 und g2.
(1) Prüfe, wie die Geraden zueinander liegen.
(2) Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an.
(3) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene.
b) g1: x= (4/1/-2) + Y * (-4/2/0)
g2: x= (1/1/3) + u * (6/-3/0) |
Zu 1 bin ich folgendermaßen weit gekommen:
ich habe beide Geraden gleichgestzt. Am Ende kam ich zu folgendem LGS: 1 1,5 0
0 0 1
0 0 0
man sieht das dieses lgs keine lösung hat. was bedeutet das? und was muss ich als nächstes machen?
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Hallo,
> Gegeben ist eine Ebene durch zwei sich schneidende Geraden
> bzw. durch zwei zueinander parallele Geraden g1 und g2.
> (1) Prüfe, wie die Geraden zueinander liegen.
> (2) Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an.
> (3) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene.
>
> b) g1: x= (4/1/-2) + Y * (-4/2/0)
> g2: x= (1/1/3) + u * (6/-3/0)
> Zu 1 bin ich folgendermaßen weit gekommen:
> ich habe beide Geraden gleichgestzt. Am Ende kam ich zu
> folgendem LGS: 1 1,5 0
> 0 0 1
> 0 0 0
> man sieht das dieses lgs keine lösung hat. was bedeutet
> das? und was muss ich als nächstes machen?
Also du hast ja [mm] g_{1} [/mm] mit [mm] g_{2} [/mm] gleichgesetz. Wenn du das gemacht hast bekommst du ein LGS welches du lösen musst. In deinem Fall existiert keine eindeutige Lösung. Dein LGS besitzt unendlich viele Lösungen und demnach sind deine Geraden paralel oder sogar identisch.
Man kann sich die Sache aber einfacher machen. Schau dir doch mal deine Richtungsvektoren an. Man sieht dass sie linear abhängig voneinander sieht. Es gilt :
[mm] -\bruch{3}{2}\cdot\vektor{-4 \\ 2 \\ 0}=\vektor{6 \\ -3 \\ 0}.
[/mm]
Um nun zu entscheiden ob die Geraden parallel oder sogar identisch sind musst du schauen on die Stützvektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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ich denke sie sind linear unabhängig,also parallel. wie geht ´das dann mir der parameterdarstellung?
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> siehe oben
> ich denke sie sind linear unabhängig,also parallel.
(das nur irgendwie zu "denken" oder zu vermuten,
genügt wohl nicht ganz...)
> wie geht ´das dann mit der parameterdarstellung?
Da die Richtungsvektoren der beiden Geraden parallel
sind, sind die Geraden entweder parallel oder sogar
identisch.
Dass dein obiges Gleichungssystem keine Lösung hatte,
bedeutet, dass die beiden Geraden keinen gemeinsamen
Punkt haben. Sie sind also nicht identisch und spannen
wirklich eine Ebene auf.
Eine Parameterdarstellung der Ebene bekommst du
folgendermassen:
Stützpunkt: der von [mm] g_1 [/mm] oder der von [mm] g_2
[/mm]
erster Richtungsvektor: der von [mm] g_1 [/mm] (oder [mm] g_2),
[/mm]
oder besser: der gekürzte Vektor (2/-1/0)
zweiter Richtungsvektor: der Verbindungsvektor der
beiden Stützpunkte der Geraden
LG
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danke. als ergebnis habe ich jetzt folgendes:
(4/1/-2)+ y * (2/-1/0) + u * (3/0/-5)
Das wäre meine Parameterdarstellung der Ebene.
Ist das richtig so?
Und nun bleibt die letzte Frage, wie komme ich nun weiter zur Koordinatengleichung der Ebene?
Ich denke das die ganze Aufgabe mit ihren einzelnen Schritten soll einen ja dazu bringen.
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Zur Koordinatengleichung kommst du in dem du ein lineares Gleichungssystem aufstellst:
1. x = 4-2Y+3u
2. y = 1-1Y
3. z = -2 -5u
dann eliminierst du Y und u
2. *2 : 2y =2-2Y
das subtrahierst du von der ersten:
1.-2.*2 x-2y=2+3u
das mal 5 : 5x-10y =10+15u
die 3. dann mal 3: 3z= -6 - 15u
es folgt addition der beiden: 5x-10y+3z=4
das ist die Koordinatengleichung
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ok wie man die gleichungen aufstellt verstehe ich, aber das danach nicht mehr. trotzdem danke. wir sollen das eigentlich mit normalenvektor berechnen. weiß jemand wie das geht?
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> ok wie man die gleichungen aufstellt verstehe ich, aber
> das danach nicht mehr. trotzdem danke. wir sollen das
> eigentlich mit normalenvektor berechnen. weiß jemand wie
> das geht?
Anstatt die Parameter aus der Ebenengleichung zu
eliminieren (das ist die Methode mit dem Gleichungs-
system), kannst du das vektorielle Produkt aus den
beiden Spannvektoren berechnen. Dies ergibt
einen Normalenvektor [mm] \vec{n}, [/mm] der zur Ebene E
senkrecht steht. Wenn [mm]\ \vec{n}=\vektor{n_x\\n_y\\n_z}[/mm] ist,
dann lautet die Koordinatengleichung der Ebene:
[mm] n_x*x+n_y*y+n_z*z=d
[/mm]
Die Konstante d bestimmst du, indem du die
Koordinaten des Stützpunktes der Ebene in diese
Gleichung einsetzt.
Al-Ch.
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ok, dass mit dem normalenvektor habe ich sohalb verstanden. aber wie man auf die lösung der koordinatengleichung kommt gar nicht. 24 als lösung stimmt, aber wie kommt man da genau hin?
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> siehe oben
> ok, dass mit dem normalenvektor habe ich sohalb
> verstanden.
Hallo,
einen Normalenvektor bekommst Du, indem Du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bildest.
Ich bekomme [mm] \vektor{5 \\ 10\\3}.
[/mm]
Du weißt nun, daß Deine Koordinatengleichung diese Gestalt hat: 5x+10y+3z=d.
Das d fehlt Dir noch.
Du bekommst es, indem Du einen Punkt der Ebene, z.b. den Stützvektor, in 5x+10y+3z einsetzt und ausrechnest, was herauskommt.
Gruß v. Angela
aber wie man auf die lösung der
> koordinatengleichung kommt gar nicht. 24 als lösung stimmt,
> aber wie kommt man da genau hin?
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> Zur Koordinatengleichung kommst du in dem du ein lineares
> Gleichungssystem aufstellst:
>
> 1. x = 4-2Y+3u ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
es sollte heissen: x= 4+2Y+3u (der Richtungsvektor der Geraden war [mm]\vektor{2\\-1\\0}[/mm] )
(und weshalb verwendest du die Variable Y ?
neben dem y ist das eher ein wenig verwirrend)
> 2. y = 1-1Y
> 3. z = -2 -5u
>
> dann eliminierst du Y und u
>
> 2. *2 : 2y =2-2Y
> das subtrahierst du von der ersten:
> 1.-2.*2 x-2y=2+3u
> das mal 5 : 5x-10y =10+15u
> die 3. dann mal 3: 3z= -6 - 15u
> es folgt addition der beiden: 5x-10y+3z=4
>
> das ist die Koordinatengleichung
die richtige Gleichung lautet: 5x+10y+3z = 24
Al-Ch.
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:40 So 15.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Al-Chwarizmi,
> (und weshalb verwendest du die Variable Y ?
Vermutlich, weil Julia zuvor selbst dort ein (allerdings kleines) y eingeführt hatte.
> neben dem y ist das eher ein wenig verwirrend)
Oh ja, das allerdings! Volle Zustimmung.
Schöne Grüße
ardik
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:25 So 15.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
> > b) g1: x= (4/1/-2) + Y * (-4/2/0)
> > g2: x= (1/1/3) + u * (6/-3/0)
> > Zu 1 bin ich folgendermaßen weit gekommen:
> > ich habe beide Geraden gleichgestzt. Am Ende kam ich zu
> > folgendem LGS: 1 1,5 0
> > 0 0 1
> > 0 0 0
ist sicherlich so gemeint:
[m]\begin{array}{c c | c}
1&1{,}5&0\\
0& 0&1\\
0&0&0\end{array}[/m]
> Also du hast ja [mm]g_{1}[/mm] mit [mm]g_{2}[/mm] gleichgesetz. Wenn du das
> gemacht hast bekommst du ein LGS welches du lösen musst. In
> deinem Fall existiert keine eindeutige Lösung. Dein LGS
> besitzt unendlich viele Lösungen und demnach sind deine
> Geraden paralel oder sogar identisch.
Wenn das LGS unendlich viele Lösungen besäße, dann wären die Geraden identisch. Anschaulich: Dann haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte.
Das das LGS hier aber keine Lösung hat (siehe zweite Zeile des LGS!), haben sie keinen gemeinsamen Punkt. Sie sind also entweder parallel oder windschief. Und da hilft nun allerdings die Betrachtung der Richtungsvektoren weiter.
> Um nun zu entscheiden ob die Geraden parallel oder sogar identisch sind
> musst du schauen on die Stützvektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.
Auch das ist leider nicht korrekt.
Sie bei Parallelität und Identität in den allermeisten Fällen linear unabhängig sein (Skizze!).
Um zwischen parallel und windschief (!) zu unterscheiden, kann man allerdings überprüfen ob ein Richtungsvektor und der Differenzvektor zwischen den beiden Stützvektoren lin. abh. sind. Falls ja, sind die Geraden identisch, denn dann enden die Stützvektoren auf der selben Gerade und die Verbindung zwischen ihren Spitzen (nämlich besagter Differenzvektor) ist parallel zum Richtungsvektor.
Schöne Grüße
ardik
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