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| Aufgabe | Es seien a, b [mm] \in \IR^n [/mm] mit a [mm] \not= [/mm] b; weiters seien r, s > 0 und [mm] A:=\{x;\parallel x-a \parallel < r\} [/mm] sowie [mm] B:=\{x; \parallel x-b \parallel < s\} [/mm] (euklidische Norm, Summennorm (= L1-Norm), Maximumsnorm)
Berechnen Sie [mm] 1_{A}\* 1_{B} [/mm] |
Hallo!
Mit der Definition der Faltung erhalte ich im Allgemeinen folgendes Integral:
[mm] f\*g [/mm] = [mm] \integral_{\IR^n}{1_{A}(x-t)*1_{B}(t) d\lambda(t)}
[/mm]
... wobei der Integrand genau dann 1 ist, wenn sich das Argument in der Schnittmenge der beiden Kugeln befindet ... habe ich das richtig verstanden?
Wenn ja, wie bekomme ich dann die Schnittmenge raus, sodass ich die dann messen kann?
Dankeschön & lg
sonnenblumale
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 So 17.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Sonnenblume,
> ... wobei der Integrand genau dann 1 ist, wenn sich das Argument
> in der Schnittmenge der beiden Kugeln befindet ... habe ich das
> richtig verstanden?
Nicht ganz. Ich fasse mal zusammen:
A ist das Intervall um a mit Radius r. f die Indikatorfunktion dazu.
B ist das Intervall um b mit Radius s. g die Indikatorfunktion dazu.
Was macht die Faltung [mm] f\*g [/mm] an der Stelle x? Die Faltung
summiert über alle Punktpaare deren Summe x ergibt.
Also kannst Du t durch ganz [mm] \IR^n [/mm] laufen lassen und als Argumente
(x-t) für die eine und (t) für die andere Funktion wählen.
Dann ist stets
(x-t)+(t) = x
und du hast alle Punktpaare (x-t) und (t) mit dieser Eigenschaft
einmal erwischt.
für Dein [mm] \integral 1_A(x-t) 1_B(t) [/mm] dt suchst Du also all jene t,
für die
(x-t) [mm] \in [/mm] A und [mm] t\in [/mm] B.
Das ist der Fall wenn (x-t) nicht weiter als r von a
und wenn t nicht weiter als s von b entfernt ist:
||(x-t) - a|| [mm] \le [/mm] r
|| (t) - b|| [mm] \le [/mm] s
Du musst dieses Ungleichungssystem für alle drei Normen lösen.
An dieser Stelle bin ich nun leider auch etwas überfragt, hoffe
aber Dir trotzdem ein wenig weitergeholfen zu haben.
Liebe Grüße,
Markus-Hermann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 19.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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