fehlerrechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 14.06.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Man bestimme die Tangentialebene $ [mm] \tilde{z}=(\vec{x}) [/mm] $ an den Graphen
$ [mm] z=f(x,y)=x^2+\bruch{1}{2}\cdot{}y^2-xy-\bruch{1}{12}\cdot{}y^4 [/mm] $
im Punkt $ [mm] \vec{x}_0=(x_0,y_0)=(1,1) [/mm] $. Anschließend schätze man damit den absoluten Fehler
$ [mm] \left|\Delta(f(\vec{x})|\right [/mm] $ im exakten Punkt $ [mm] \vec{x}=(1+\Delta{x},1+\Delta{y}) [/mm] $ nahe $ [mm] \vec{x}_0 [/mm] $ ab, falls die Meßfehler
$ [mm] \left|\bruch{\Delta{x}}{x_0}\right|, \left|\bruch{\Delta{y}}{y_0}\right| [/mm] $ kleiner als 1% sind.Was gilt entsprechend für den relativen Fehler ? |
Hallo,
ich komme hier bei der fehlerrechnung nicht weiter..
die tangetialebene habe ich berechnet:
$ [mm] z=x-\bruch{1}{3}\cdot{}y-\bruch{3}{12} [/mm] $
wie schätze ich jetzt den fehler ab?
danke!
lg
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Hallo cracker,
> Man bestimme die Tangentialebene [mm]\tilde{z}=(\vec{x})[/mm] an den
> Graphen
>
> [mm]z=f(x,y)=x^2+\bruch{1}{2}\cdot{}y^2-xy-\bruch{1}{12}\cdot{}y^4[/mm]
> im Punkt [mm]\vec{x}_0=(x_0,y_0)=(1,1) [/mm]. Anschließend schätze
> man damit den absoluten Fehler
> [mm]\left|\Delta(f(\vec{x})|\right[/mm] im exakten Punkt
> [mm]\vec{x}=(1+\Delta{x},1+\Delta{y})[/mm] nahe [mm]\vec{x}_0[/mm] ab, falls
> die Meßfehler
> [mm]\left|\bruch{\Delta{x}}{x_0}\right|, \left|\bruch{\Delta{y}}{y_0}\right|[/mm]
> kleiner als 1% sind.Was gilt entsprechend für den relativen
> Fehler ?
> Hallo,
> ich komme hier bei der fehlerrechnung nicht weiter..
> die tangetialebene habe ich berechnet:
>
> [mm]z=x-\bruch{1}{3}\cdot{}y-\bruch{3}{12}[/mm]
Lass das lieber so stehen:
[mm]z-z_{0}=1*\left(x-x_{1}\right)-\bruch{1}{3}\left(y-1\right)[/mm]
Mit
[mm]\Delta z:=z-z_{0}[/mm]
[mm]\Delta y:=y-1[/mm]
[mm]\Delta x:=x-1[/mm]
schreibt sich das so:
[mm]\Delta z=1*\Delta x-\bruch{1}{3}*\Delta y[/mm]
Und dies kannst Du jetzt mit Hilfe der
Dreiecksungleichung nach oben abschätzen.
>
> wie schätze ich jetzt den fehler ab?
>
> danke!
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 14.06.2009 | | Autor: | cracker |
wie, mit der dreiecksungleichung? statt dem = einfach [mm] \ge [/mm] schreiben und dann?
danke!!
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Hall cracker,
> wie, mit der dreiecksungleichung? statt dem = einfach [mm]\ge[/mm]
> schreiben und dann?
> danke!!
So meine ich das:
[mm]}\Delta z = 1 \Delta x - \bruch{1}{3} \Delta y \le \vmat{1} \Delta x + \vmat{-\bruch{1}{3}} \Delta y=1 \Delta x + \bruch{1}{3} \Delta y[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 14.06.2009 | | Autor: | cracker |
und was ist mit den -3/12 ???
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Hall Cracker,
> und was ist mit den -3/12 ???
Ich habe ja die Tangentialebene etwas anders geschrieben:
[mm]z-z_{0}=1*\left(x-1\right)-\bruch{1}{3}*\left(y-1\right)[/mm]
Verglichen mit Deiner Gleichung der Tangentialebene ist:
[mm]-\bruch{3}{12}=-1-\bruch{1}{3}*\left(-1\right)+z_{0}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 14.06.2009 | | Autor: | cracker |
Achso okay,
also ist die tangentialebene z - [mm] z_0 [/mm] = [mm] \Delta{z}..
[/mm]
tut mir leid dass ich nochmal frage..aber was fange ich jetzt mit dieser dreiecksungleichung an:(?
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Hallo cracker,
> Achso okay,
> also ist die tangentialebene z - [mm]z_0[/mm] = [mm]\Delta{z}..[/mm]
> tut mir leid dass ich nochmal frage..aber was fange ich
> jetzt mit dieser dreiecksungleichung an:(?
>
Mit der Dreiecksungleichung hast Du den Fehler nach oben abgeschätzt.
Setze nun [mm]\Delta x, \ \Delta y[/mm] in diese Abschätzung ein,
und Du erhältst den maximalen Fehler für [mm]\Delta z[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 14.06.2009 | | Autor: | cracker |
dann steht da:
[mm] \Delta{z} [/mm] = x - [mm] \bruch{1}{3}*y [/mm] - [mm] \bruch{4}{3} \le [/mm] x + [mm] \bruch{1}{3}*y [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
also ist mein [mm] \Delta{z} [/mm] 1/3 oder wie?
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Hallo Cracker,
> dann steht da:
> [mm]\Delta{z}[/mm] = x - [mm]\bruch{1}{3}*y[/mm] - [mm]\bruch{4}{3} \le[/mm] x +
> [mm]\bruch{1}{3}*y[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> also ist mein [mm]\Delta{z}[/mm] 1/3 oder wie?
>
Leider nein.
Es ist
[mm]\Delta z=1*\Delta x + \bruch{1}{3}*\Delta y[/mm]
Weiterhin ist, gemäß Aufgabenstellung
[mm]\Delta x \le 0.01 * \vmat{x}[/mm]
[mm]\Delta y \le 0.01 * \vmat{y}[/mm]
Setzt Du hier jemeils das maximale in Gleichung für [mm]\Delta z[/mm] ein,
so erhältst Du den maximalen Fehler von z.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 14.06.2009 | | Autor: | cracker |
tut mir leid, aber ich verstehe das immernoch nicht,
dann habe ich doch in der gleichung trotzdem noch x und y stehen und bekomme keinen wert raus?..
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Hallo cracker,
> tut mir leid, aber ich verstehe das immernoch nicht,
> dann habe ich doch in der gleichung trotzdem noch x und y
> stehen und bekomme keinen wert raus?..
laut Aufgabenstellung ist x=y=1.
Gruß
MathePower
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