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| Aufgabe | Geben sie in C[0,1]eine Folge [mm] (f_{n}) [/mm] an, welche die fologenden Eigenschaften hat:
[mm] (a)\parallel f_{n} \parallel_{\infty}=1 [/mm] für [mm] n\in \IN
[/mm]
[mm] (b)\limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_{n} \parallel_{1}=0 [/mm] |
Hallo,
Ich dachte mir,dass man bei der 1. die Folge f(x)=x wählen könnte und bei der 2. vielleicht 1/n²,wobei ich mir nicht sicher bin.Wenn das stimmen sollte,wie beweise ich es dann?Ich hoffe jemand kann mir helfen.
Liebe Grüße
Eva marie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Sa 12.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Geben sie in C[0,1]eine Folge [mm](f_{n})[/mm] an, welche die
> fologenden Eigenschaften hat:
> [mm](a)\parallel f_{n} \parallel_{\infty}=1[/mm] für [mm]n\in \IN[/mm]
>
> [mm](b)\limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_{n} \parallel_{1}=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Hallo,
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> Ich dachte mir,dass man bei der 1. die Folge f(x)=x wählen
> könnte und bei der 2. vielleicht 1/n²,wobei ich mir nicht
> sicher bin.Wenn das stimmen sollte,wie beweise ich es
> dann?Ich hoffe jemand kann mir helfen.
die von dir angegeben folgen erfüllen jeweils die eigenschaft für welche du sie konstruiert hast, aber ich denke, dass hier eine folge gemeint ist, die gleichzeitig beide eigenschaften erfüllt. und das tuen die von dir angegeben folgen nicht (überlege dir mal warum). betrachte die funktion $f_1: [0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto \begin{cases} 2x & \textrm für } x \in [0, \frac{1}{2}) \\ -2x + 2 & \textrm{ für } x \in [\frac{1}{2}, 1] \end{cases}$ (skizziere diese funktion am besten). ist $f_1 \in C[0,1]$? erfüllt $f_1$ die eigenschaft (a)? wie kann man denn nun "ähnlich" aussehnde funktionen $f_2, f_3, ...$ konstruieren, so dass die folge auch noch (b) erfüllt (überlege dir dazu am besten mal, was $\|f_1\|_1$ ist und welche geometrische interpretation diese norm denn hat...).
probiere mal weitere funktionen aus der folge zu finden...
grüße
andreas
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