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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:53 Do 07.10.2004 | | Autor: | deniz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche gerade herauszu finden ob und wie es möglich ist aus folgenden Angaben eine grafische Darstellung zu zaubern.
Schranken 2 und 7, Grenzwert 4.
Wie kann ich die Punkte ausrechnen? Ich hab die Lösung, verstehe allerdings den Rechenweg nicht. Kann mir jemand helfen? Ich wär echt dankbar.
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Hi Angela,
wie wäre es denn mal mit einem liebevollen 'Hallo' ?
Also auf deine Frage kann dir niemand antworten, weil wir nicht wissen können wie deine zu veranschaulichende Folge aussieht.
Kannst du die mal hier posten?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Fr 08.10.2004 | | Autor: | deniz |
hallo Thomas!
Vielen Dank! Das war schon so ziemlich alles was ich wissen wollte. Die Angabe war genau so wie ich sie durchgegeben hatte und ich konnte mir nicht vorstellen dass die reichen soll. Ich dachte schon ich bin ganz blöd. Tut mir leid wenn ich unfreundlich wirke, mein freundliches Lächeln kann wohl keiner übers Internet sehen.
Die Folge müsste dann etwa so aussehen: [mm] 7/3n^2 [/mm] -1. Kann das sein?
Die Aufgabe ist nicht so wichtig ich möchte das Prinzip verstehen. ich habs auch nicht eilig, aber wenn du mal Zeit hast mir das zu erklären... ich wär wirklich sehr dankbar, ich hab nämlich keinen Lehrer mehr den ich fragen könnte.
Lieben Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> hallo Thomas!
> Vielen Dank! Das war schon so ziemlich alles was ich
> wissen wollte. Die Angabe war genau so wie ich sie
> durchgegeben hatte und ich konnte mir nicht vorstellen dass
> die reichen soll. Ich dachte schon ich bin ganz blöd. Tut
> mir leid wenn ich unfreundlich wirke, mein freundliches
> Lächeln kann wohl keiner übers Internet sehen.
> Die Folge müsste dann etwa so aussehen: [mm]7/3n^2[/mm] -1. Kann
> das sein?
Meinst du
a) [mm]\frac{7}{3}\cdot n^2-1[/mm]
b) [mm]\frac{7}{3n^2}-1[/mm]
oder c) [mm]\frac{7}{3n^2-1}[/mm] ???
Oder vielleicht noch was anderes?
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Fr 08.10.2004 | | Autor: | deniz |
Ich meine c. Auweia....
Danke für die Ausdruckshilfe.
Gruß, Angela.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Zunächst einmal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
daran sieht man schon, dass eine obere Schranke z.B. 4 wäre. das kannst du beweisen, indem du zeigst, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$ gilt:
[mm] $a_n [/mm] < 4$
[mm] $\gdw \frac{7}{3n^2 -1}< [/mm] 4$ weil [mm] $3n^2 [/mm] -1 >0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] 7< [mm] 4(3n^2 [/mm] -1)$
[mm] $\gdw [/mm] 7< 12 [mm] n^2 [/mm] -4$
[mm] $\gdw [/mm] 11< 12 [mm] n^2$
[/mm]
Das gilt wohl für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$.
Für untere Schranken (z.B. 0 oder -12387 ) zeigt man:
[mm] $a_n [/mm] > 0 $
[mm] $\gdw \frac{7}{3n^2 -1} [/mm] >0$ und weil [mm] $3n^2-1>0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 7 >0 $, was für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$ gilt.
Für den Grenzwert zeige ich Folgendes:
[mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{7}{3n^2 -1}= [/mm] 0$ weil der nenner riesig groß wird (genauer gesagt unendlich zum Quadrat -1  ) und dann geht der gesamte Ausdruck gegen 0.
> hallo Thomas!
> Vielen Dank! Das war schon so ziemlich alles was ich
> wissen wollte. Die Angabe war genau so wie ich sie
> durchgegeben hatte und ich konnte mir nicht vorstellen dass
> die reichen soll. Ich dachte schon ich bin ganz blöd. Tut
> mir leid wenn ich unfreundlich wirke, mein freundliches
> Lächeln kann wohl keiner übers Internet sehen.
> Die Folge müsste dann etwa so aussehen: [mm]7/3n^2[/mm] -1. Kann
> das sein?
> Die Aufgabe ist nicht so wichtig ich möchte das Prinzip
> verstehen. ich habs auch nicht eilig, aber wenn du mal Zeit
> hast mir das zu erklären... ich wär wirklich sehr dankbar,
> ich hab nämlich keinen Lehrer mehr den ich fragen könnte.
> Lieben Gruß.
>
Wenn noch eine Frage unbeantwortet blieb, frage ruhig hier nach, wir freuen uns darauf. 
Gruß Micha
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:18 Fr 08.10.2004 | | Autor: | deniz |
Vielen, vielen Dank. Das ist alles ziemlich einleuchtend. Das hauptproblem ist allerdings noch nicht gelöst. Denn die Grafik die bei mir als Lösung steht hat gar nichts mit dieser Grafik (das muss ja ein Riesenaufwand gewesen sein) zu tun. Meine Lösung hat als y-Achse [mm] a_{n} [/mm] und als x-Achse n stehen. Das Ganze sieht wie eine Schlangenlinie aus, die sich um den Wert 4 windet und deren Amplitude nach rechts immer kleiner wird. Die Schranken sind eindeutig 2 und 7. Rund um die 4 (von 3,5 bis 4,5) ist ein schraffierter Bereich der mit "Schlauch" betitelt ist. Was mir ernsthaft Kopfzerbrechen bereitet (aufgrund der unklaren Aufgabenstellung) ist ob die angegebene Funktion mit der Grafik überhaupt etwas zu tun hat.
Nochmals danke für die bisheringen Antworten und wenn jemand Rat weiß.......
Gruß, Angela.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Angela,
ich bin kein Held der Zeichnungen - gerade nicht online. Aber wie Du Deine Grafik beschreibst, ist
sie die typische Dartstellung für Folgen in einem Koordinatensystem.
Eine Folge ist ja eine abzählbare Menge, dass heißt, die Elemente der Menge können nummeriert werden, oder auch anders gesagt:
Es gibt eine Abbildung von den natürliche Zahlen [mm] $\IN$ [/mm] in die Menge der Folgenglieder.
Deshalb schreibt man auf die x-Achse die $n [mm] \in \IN$ [/mm] und liest an der y-Achse den Wert des jeweiligen Folgengliedes ab.
Wenn man Folgen auf Konvergenz untersucht und der Auffasung ist, dass $a$ der Grenzwert ist, muß man zeigen, dass für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0, [mm] \varepsilon \in \IR$ [/mm]
ein Index $N [mm] \in \IN$ [/mm] derart existiert, dass für alle Indizes $m>N, m [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $|a_m [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Graphisch legt man also einen "Schlauch" (man spricht gerne vom [mm] $\varepsilon-$Schlauch) [/mm] um den Grenzwert und prüft, ob fast alle Folgenglieder in diesem Schlauch liegen.
Wenn man den Schlauch beliebig kleiner macht und wieder fast alle Folgenglieder in diesem Schlauch liegen, ist die Folge konvergent.
Aus den von Dir angegebenen Daten (Schranke 7 und 2, Grenzwert 4) kann man unendlich viele grafische Darstellungen zaubern. Dies kann man sich klar machen, in dem man einfach mehrere Folgen konstruiert, die diese Bedingung erfüllen.
Beispiel:
Folge 1:
[mm] $a_0 [/mm] = 7$, [mm] $a_1=2$, [/mm] und für alle $n [mm] \in \IN, [/mm] n>2: [mm] a_n=4$
[/mm]
Folge 2:
[mm] $a_0 [/mm] = 7$, [mm] $a_1=2$, [/mm] und für alle $n [mm] \in \IN, [/mm] n>2: [mm] a_n=4+(-1)^n*\bruch{1}{n}$
[/mm]
Folge 3:
[mm] $a_0 [/mm] = 7$, [mm] $a_1=2$, [/mm] und für alle $n [mm] \in \IN, [/mm] n>2: [mm] a_n=4+\bruch{1}{n}$
[/mm]
Folge 4:
[mm] $a_0 [/mm] = 7$, [mm] $a_1=2$, [/mm] und für alle $n [mm] \in \IN, [/mm] n>2: [mm] a_n=4-\bruch{1}{n}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Fr 08.10.2004 | | Autor: | deniz |
vielen lieben dank an alle die mir hier weitergeholfen haben. Und Hut ab vor so guten Erklärungen.
Lieben Gruß, Angela.
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