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| Aufgabe | Gegeben sind die Reihen
[mm] f(x)=1+\summe_{i=1}^{\infty}x^{i} [/mm] mit |x|<1
[mm] g(x)=1+\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{i}*x^{i} [/mm] mit |x|<1
Berechnen Sie f(x)*g(x) indem Sie f(x) und g(x) in geschlossene Ausdrücke umformen. Bilden Sie anschließend das gesuchte Produkt und formen Sie den so erhaltenen Ausdruck in eine Reihe um.
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Hallo,
ich hab mich mal an der Aufgabe versucht.
Also zuerst zu f(x):
Ich hab erst mal die Folgenglieder aufgeschrieben:
[mm] s(n)=1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}
[/mm]
Jetzt ist es bei einer geometrischen Reihe ja so, dass ich immer durch einen Bestimmten Wert q teile
--> [mm] s(n)=1+x+x*q+x*q^{2}+...+x*q^{n-1}
[/mm]
Dann [mm] s(n)*q=q+x*q+x*q^{2}+x*q^{3}+...+x+q^{n-1}+x*q^{n}
[/mm]
[mm] s(n)*q-s(n)=q-1+x*q^{n}
[/mm]
[mm] s(n)*(q-1)=q-1+x*q^{n}
[/mm]
[mm] s(n)=1+\bruch{x*q^{n}}{q-1}
[/mm]
Da nun x<1 gilt:
[mm] s(n)=1-\bruch{x*q^{n}}{1-q}
[/mm]
So bevor ich das jetzt auch mit g(x) mach, würd ich gern wissen, ob das überhaupt stimmt.
Vielen Dank schonmal für Eure Antworten!
Grüße
Franz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Was Du hier brauchst ist die geometrische Reihe
[mm] $\summe_{i=0}^{\infty}q^i [/mm] = [mm] 1+\summe_{i=1}^{\infty}q^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}$ [/mm]
für |q|<1
Dann ist $f(x) = [mm] \bruch{1}{1-x}$ [/mm] und $g(x) = [mm] \bruch{1}{1+x}$, [/mm] also
$f(x)g(x) [mm] =\bruch{1}{1-x^2}$ [/mm] = [mm] $\summe_{i=0}^{\infty}x^{2i}$
[/mm]
FRED
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hmm, ok.
klar, die geometrische reihe kann man nachschauen, aber ich wüsste gerne, wie ich mir das ergebnis herleiten kann...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei |q|<1 und [mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}q^i
[/mm]
Zeige induktiv: [mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Da |q|<1, konvergiert [mm] (q^n) [/mm] gegen 0, also konv. [mm] (s_n) [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
FRed
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und wie komm ich nun auf die teilsumme, also wie zeige ich das induktiv?
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> und wie komm ich nun auf die teilsumme, also wie zeige ich
> das induktiv?
Hallo,
indem Du eine vollständige Induktion machst.
Ich glaube übrigens nicht, daß die Herleitung des Reihenwertes der geometrischen Reihe Bestandteil der ursprünglichen Aufgabe ist. das wurde ja mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit in der Vorlesung gemacht, und gehört zu der mathematischen Minimalausstattung, die man allzeit dabei haben sollte - und nach der auch immer mal gern gefragt wird.
Gruß v. Angela
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