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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} m, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{2m}\\ 0, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{2m} \end{cases} [/mm]
Entwickeln Sie die Funktion im Intervall [mm] (-\pi,\pi) [/mm] in eine Fourierreihe aus komplexen Exponentialfunktionen. |
Hallo,
hier mal wieder eine Frage. Ich versuch gerade mir Folgen und Reihen selbst beizubringen...
Mir ist soweit klar, wie man die Aufgabe lösen sollte. Die komplexe Darstellung für die Fourierreihe und davon [mm] c_n [/mm] berechnen, also Integration im gegebenen Intervall.
Ich hab nur ein Problem mit der Funktion.
Muss ich hier eine Fallunterscheidung machen?
Aber auch dann fehlt mir irgendwie eine konkrete Funktion...
Irgendwie hab ich da grad ein Brett vor dem Kopf..
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Viele Grüße
Franz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Di 27.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo FranzFerdinand,
> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} m, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{2m}\\ 0, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{2m} \end{cases}[/mm]
Ist die Funktion so definiert ?
> Entwickeln Sie die Funktion im Intervall [mm](-\pi,\pi)[/mm] in eine
> Fourierreihe aus komplexen Exponentialfunktionen.
> Hallo,
>
> hier mal wieder eine Frage. Ich versuch gerade mir Folgen
> und Reihen selbst beizubringen...
>
> Mir ist soweit klar, wie man die Aufgabe lösen sollte. Die
> komplexe Darstellung für die Fourierreihe und davon [mm]c_n[/mm]
> berechnen, also Integration im gegebenen Intervall.
>
> Ich hab nur ein Problem mit der Funktion.
> Muss ich hier eine Fallunterscheidung machen?
> Aber auch dann fehlt mir irgendwie eine konkrete
> Funktion...
> Irgendwie hab ich da grad ein Brett vor dem Kopf..
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Viele Grüße
> Franz
Gruß
MathePower
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oh, sorry, hab mich vertippt
unten steht 0 für |x|>0.
:)
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Hallo FranzFerdinand,
> oh, sorry, hab mich vertippt
> unten steht 0 für |x|>0.
Dann ist
[mm] f(x)=\begin{cases} m, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{2m}\\ 0, & \mbox{für } |x|> 0 \end{cases} [/mm]
Und was ist "m"? [mm]m \in \IZ,\ m \in \IN[/mm] ?
Wenn m größer Null ist, dann gilt möglicherweise
[mm] f(x)=\begin{cases} m, & \mbox{für } 0<=x\le \bruch{1}{2m}\\ 0, & \mbox{für } x< 0 \end{cases} [/mm]
Ist m kleiner Null, dann gilt möglicherweise
[mm] f(x)=\begin{cases} m, & \mbox{für } 0 \ge x \ge \bruch{1}{2m}\\ 0, & \mbox{für } x> 0 \end{cases} [/mm]
>
> :)
Gruß
MathePower
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m ist in der aufgabe nicht definiert...
aber wenn ich mal beide deiner möglichkeiten durchrechnen möchte, wie geh ich da vor?
ich hab ja immernoch keine funktion :(
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Hallo FranzFerdinand,
> m ist in der aufgabe nicht definiert...
>
> aber wenn ich mal beide deiner möglichkeiten durchrechnen
> möchte, wie geh ich da vor?
> ich hab ja immernoch keine funktion :(
Mir fällt gerade auf, daß die Funktion auch so lauten kann:
[mm] f(x)=\begin{cases} m, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{2m}\\ 0, & \mbox{für } |x|> \bruch{1}{2m} \end{cases} [/mm]
Hier fällt die Symmetrie auf, da [mm]f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/mm]
Die Koeffizienten der Fourierreihe berechnen sich
für die Periode [mm]2\pi[/mm] wie folgt:
[mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{+\pi}{f(x) *\cos\left(kx\right) \dx}[/mm]
[mm]b_{k}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{+\pi}{f(x) *\sin\left(kx\right) \dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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danke für deine antwort!
die definition der fourierreihe kenn ich, aber was ist denn mein f(x)?
das muss ich ja eben in diese formel einsetzen und für mich ist die definition von f(x) nicht wirklich etwas, was ich einsetzen kann...
ich hätte gerne etwas wie [mm] f(x)=x^{2} [/mm] oder sowas...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch eine Funktion f
Nehmen wir mal an, es sei m=1
Dann ist f(x) = 1 für x [mm] \in[-1/2, [/mm] 1/2] und f(x) = 0 für alle anderen x
FRED
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Dankeschön!!
Jetzt hab ichs endlich kapiert.. :)
Ich bekomme dann
[mm] c_{n}=\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{m}{i*n*w}*e^{-\bruch{1}{2}*i*n*m*w}+\bruch{m}{i*n*w}*e^{i*n*\pi*w}
[/mm]
den bruch kann ich jetzt noch vor die Klammer ziehen.
Ist das soweit richtig? Hab erstmal von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \bruch{1}{2m} [/mm] integriert und dann weiter bis [mm] \pi.
[/mm]
setze ich mein Ergebnis is in die Fourierreihe ein und vereinfach noch etwas, bekomme ich schließlich:
[mm] f(x)=\bruch{m}{2\pi*i*w}\summe_{n=-\infty}^{\infty}\bruch{1}{n}*(e^{i*n*w*(\pi-x)}-e^{i*n*w*(-\bruch{m}{2}-x)})
[/mm]
Richtig so?
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Hallo FranzFerdinand,
> Dankeschön!!
>
> Jetzt hab ichs endlich kapiert.. :)
>
> Ich bekomme dann
>
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{m}{i*n*w}*e^{-\bruch{1}{2}*i*n*m*w}+\bruch{m}{i*n*w}*e^{i*n*\pi*w}[/mm]
> den bruch kann ich jetzt noch vor die Klammer ziehen.
Die Koeffizienten [mm]c_{n}[/mm] ergeben sich zu:
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2 \pi}\integral_{-\bruch{1}{2m}}^{+\bruch{1}{2m}}{m*e^{-inx} \ dx}[/mm]
Und da kommt etwas anderes heraus.
>
> Ist das soweit richtig? Hab erstmal von [mm]-\pi[/mm] bis
> [mm]\bruch{1}{2m}[/mm] integriert und dann weiter bis [mm]\pi.[/mm]
>
> setze ich mein Ergebnis is in die Fourierreihe ein und
> vereinfach noch etwas, bekomme ich schließlich:
>
> [mm]f(x)=\bruch{m}{2\pi*i*w}\summe_{n=-\infty}^{\infty}\bruch{1}{n}*(e^{i*n*w*(\pi-x)}-e^{i*n*w*(-\bruch{m}{2}-x)})[/mm]
>
> Richtig so?
Gruß
MathePower
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nee, ich soll mein Funktion ja im Intervall von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] entwickeln, da meine Funktion ja aber bei größer 1/2m gleich Null wird, reicht eine Integration von [mm] -\pi [/mm] bis 1/2m vollkommen aus.
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Hallo FranzFerdinand,
> nee, ich soll mein Funktion ja im Intervall von [mm]-\pi[/mm] bis
> [mm]\pi[/mm] entwickeln, da meine Funktion ja aber bei größer 1/2m
> gleich Null wird, reicht eine Integration von [mm]-\pi[/mm] bis 1/2m
> vollkommen aus.
Die Definition der Funktion ist folgende:
[mm] f(x)=\begin{cases} m, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{2m}\\ 0, & \mbox{für } |x|> \bruch{1}{2m} \end{cases} [/mm]
Anders geschrieben:
[mm]f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}{m, & x \in \left[-\bruch{1}{2m},+\bruch{1}{2m}\right] \\ 0, & x \in \left[-\pi,+\bruch{1}{2m}\right[ \cup \left]+\bruch{1}{2m},+\pi \right] \end{matrix}\right[/mm]
Gruß
MathePower
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Ich versteh immernoch nicht, wie man auf diese Grenzen kommt. Meine mathematischen Kenntnisse gehen gegen 0...
Aber ich habs mal probiert zu rechnen, und hoffe es ist richtig:
Für die kompleye Fourierreihe bekomme ich:
[mm] S_{n}(x)=\summe_{i=-\infty}^{\infty}=-\bruch{m}{2\pi*i*k}*(e^{-\bruch{i*k}{2m}}+e^{\bruch{i*k}{2m}})*e^{i*k*x}
[/mm]
Ich glaube, weiter kann man es nicht mehr zusammenfassen.
Nun hab ich mich noch an der reellen Fourierreihe probiert.
Da eine gerade Funktion vorliegt, gibt es nur cos-Terme und [mm] b_{k}=0
[/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{m}{\pi*k}*2*sin(\bruch{k}{2m})
[/mm]
So und jetzt normalerweise einfach in die Fourierreihe einsetzen.
Ich hab nur ein Problem... mein [mm] a_{0} [/mm] ist nicht definiert :(
Müsste dann ja durch 0 teilen, hab ich mich verrechnet??
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Hallo FranzFerdinand,
> Ich versteh immernoch nicht, wie man auf diese Grenzen
> kommt. Meine mathematischen Kenntnisse gehen gegen 0...
>
> Aber ich habs mal probiert zu rechnen, und hoffe es ist
> richtig:
> Für die kompleye Fourierreihe bekomme ich:
>
> [mm]S_{n}(x)=\summe_{i=-\infty}^{\infty}=-\bruch{m}{2\pi*i*k}*(e^{-\bruch{i*k}{2m}}+e^{\bruch{i*k}{2m}})*e^{i*k*x}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich glaube, weiter kann man es nicht mehr zusammenfassen.
>
> Nun hab ich mich noch an der reellen Fourierreihe
> probiert.
> Da eine gerade Funktion vorliegt, gibt es nur cos-Terme
> und [mm]b_{k}=0[/mm]
> [mm]a_{k}=\bruch{m}{\pi*k}*2*sin(\bruch{k}{2m})[/mm]
> So und jetzt normalerweise einfach in die Fourierreihe
> einsetzen.
> Ich hab nur ein Problem... mein [mm]a_{0}[/mm] ist nicht definiert
> :(
> Müsste dann ja durch 0 teilen, hab ich mich verrechnet??
Nee, für den Fall k=0 mußt Du den Fourierkoeffizienten separat ausrechnen.
Gruß
MathePower
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