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Hallo zusammen!
es geht um folgendes:
Es sei *A* eine Kategorie, A ein festes Element aus *A* und *S* die Kategorie der Mengen. Dann erhalten wir einen kovarianten Functor von *A* nach *S* indem wir wählen:
- Objektzuordnung:
[mm] M_{A}: [/mm] Ob(*A*) -> Ob(*S*)
[mm] M_{A} [/mm] (X) := Mor(A,X).
Das habe ich verstanden. Und ich sehe auch ein, dass wir so etwas nach Definition brauchen... aber nun kommt das Problem:
- Morphismenzuordnung:
Ist [mm] \varphi: [/mm] X -> X' ein Morphismus, dann wählen wir als Abbildung
[mm] M_{A} (\varphi [/mm] ): Mor(A,X) -> Mor(A,X')
die durch die Zuordung:
g [mm] \mapsto \varphi \circ [/mm] g
für alle [mm] g\in [/mm] Mor(A,X).
Da steige ich gar nicht durch!!! Nach Definition muss die Morphismenabbildung doch folgendermaßen aussehen:
[mm] M_{A}: [/mm] Mor_(A,B) -> Mor( [mm] M_{A}(A), M_{A}(B) [/mm] )
für Objekt A,B aus *A*. Das finde ich da nicht wieder.
Und kann mir jemand im Ansatz zeigen, wieso die zwei Axoime erfüllt sind?
Gruß, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Fr 16.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo und guten Morgen!
Kennst du GANS (= Generalized Abstract NonSense)? Ob man das morgens schon machen sollte?
> Hallo zusammen!
> es geht um folgendes:
>
> Es sei *A* eine Kategorie, A ein festes Element aus *A* und
> *S* die Kategorie der Mengen. Dann erhalten wir einen
> kovarianten Functor von *A* nach *S* indem wir wählen:
> - Objektzuordnung:
> [mm]M_{A}:[/mm] Ob(*A*) -> Ob(*S*)
> [mm]M_{A}[/mm] (X) := Mor(A,X).
> Das habe ich verstanden. Und ich sehe auch ein, dass wir
> so etwas nach Definition brauchen... aber nun kommt das
> Problem:
> - Morphismenzuordnung:
> Ist [mm]\varphi:[/mm] X -> X' ein Morphismus, dann wählen wir als
> Abbildung
> [mm]M_{A} (\varphi[/mm] ): Mor(A,X) -> Mor(A,X')
> die durch die Zuordung:
> g [mm]\mapsto \varphi \circ[/mm] g
> für alle [mm]g\in[/mm] Mor(A,X).
>
> Da steige ich gar nicht durch!!! Nach Definition muss die
> Morphismenabbildung doch folgendermaßen aussehen:
> [mm]M_{A}:[/mm] Mor_(A,B) -> Mor( [mm]M_{A}(A), M_{A}(B)[/mm] )
> für Objekt A,B aus *A*. Das finde ich da nicht wieder.
> Und kann mir jemand im Ansatz zeigen, wieso die zwei Axoime
> erfüllt sind?
>
Hier hast du dich etwas verheddert! A ist ein festes Objekt in *A* und stiftet den Funktor. Die Abbildungsformel muß deswegen anders geschrieben werden:
[mm]M_{A}:[/mm] Mor (X,Y) -> Mor( [mm]M_{A}(X), M_{A}(Y)[/mm] )
wobei die Morphismen zwischen Mengen einfach die Abbildungen sind.
Der Nachweis der Axiome (Identität auf Identität und Produkt auf Produkt, wenn ich das richtig im Kopp habe) ist in Wirklichkeit nur Schreibarbeit, versuch's mal selbst. Das kriste hin!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Guten Morgen (jaaa, die Studenten  )...
neee, GANS kenne ich nicht. Ist das irgendwie weiter bekannt?
Es sei *A* eine Kategorie, A ein festes Element aus *A* und
*S* die Kategorie der Mengen. Dann erhalten wir einen
kovarianten Functor von *A* nach *S* indem wir wählen:
- Objektzuordnung:
[mm]M_{A}:[/mm] Ob(*A*) -> Ob(*S*)
[mm]M_{A}[/mm] (X) := Mor(A,X).
Das Problem:
- Morphismenzuordnung:
Ist [mm]\varphi:[/mm] X -> X' ein Morphismus, dann wählen wir
als Abbildung
[mm]M_{A} (\varphi[/mm] ): Mor(A,X) -> Mor(A,X')
die durch die Zuordung:
g [mm]\mapsto \varphi \circ[/mm] g
für alle [mm]g\in[/mm] Mor(A,X) gegeben ist.
Die Abbildungsformel müsste nach Definition wie folgt geschrieben werden:
[mm]M_{A}:[/mm] Mor (X,Y) -> Mor( [mm]M_{A}(X), M_{A}(Y)[/mm] ), für alle Morphismen [mm] f\in [/mm] Mor(X,Y) aus *A*, da stimme ich dir jetzt zu!
ABER:
Mein Problem ist, dass ich nicht sehe, dass die angegebene Morphismenabbildung von oben von der Form wie in der Definition ist! (Ich hoffe meine Unklarheit ist etwas klar ausgedrückt  )
Außerdem ist mir unklar, welche (verschiedenen) Bedeutungen g und [mm] \varphi [/mm] von oben haben!
danke schonmal, dancingestrella
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Halla dancingestrella!
Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Frage verstehe, daher erkläre ich einfach mal ein bisschen was und du sagst mir dann anschließend, was du davon verstehst und was nicht.
Zu überlegen ist ja, dass für [mm] $\varphi \in [/mm] Mor(X,X')$ gilt:
[mm] $M_A(\varphi) \in Mor(M_A(X), M_A(X'))$.
[/mm]
Wir müssen uns somit klarmachen, dass für alle $g [mm] \in M_A(X) [/mm] = Mor(A,X)$ gilt:
[mm] $[M_A(\varphi)](g) \in M_A(X') [/mm] = Mor(A,X')$.
Nun haben wir aber:
[mm] $[M_A(\varphi)](g) [/mm] = [mm] \underbrace{\varphi}_{\in Mor(X,X')} \circ \underbrace{g}_{\in Mor(A,X)} \in [/mm] Mor(A,X')= [mm] M_A(X')$,
[/mm]
was zu zeigen war. Damit ist formal schon einmal alles erfüllt.
Jetzt kümmern wir uns mal um die Bedingungen für den Funktor kümmern:
1) Es gilt für $X [mm] \in \star [/mm] A [mm] \star$ [/mm] und $g [mm] \in M_A(X)= [/mm] Mor(A,X)$:
[mm] $[M_A(1_X)](g) [/mm] = [mm] 1_X \circ [/mm] g = g$,
also:
[mm] $M_A(1_X) [/mm] = [mm] 1_{Mor(A,X)} [/mm] = [mm] 1_{M_A(X)}$.
[/mm]
2) Sind [mm] $\psi \in [/mm] Mor(X,X')$ und [mm] $\varphi \in [/mm] Mor(X',X'')$, dann gilt für alle $g [mm] \in M_A(X) [/mm] = Mor(A,X)$:
[mm] $[M_A(\varphi \circ \psi)](g) [/mm] = [mm] (\varphi \circ \psi) \circ [/mm] (g) = [mm] \varphi \circ (\psi \circ [/mm] g) = [mm] M_A(\varphi)\{[M_A(\psi)](g)]\} [/mm] = [mm] [M_A(\varphi) \circ M_A(\psi)](g)$,
[/mm]
also:
[mm] $M_A(\varphi \circ \psi) [/mm] = [mm] M_A(\varphi) \circ M_A(\psi)$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Ich finde die Kategorientheorie wirklich nett: Mit nichts anderem kann man sich so nutzlos mit so viel Spaß und dennoch so geistvoll beschäftigen.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
Ich gebe einmal die Definition vom Funktor, in der Hoffnung mein Problem dann besser formulieren zu können:
Es seien *A* und *B* Kategorien. Ein kovarianter Funktor von *A* nach *B* besteht aus einer Zuordung
F: ob(*A*) -> ob(*B*)
und Abbildungen
F: [mm] Mor_{*A*}(A,B) [/mm] -> [mm] Mor_{*B*}(F(A),F(B))
[/mm]
wobei A und B Objekte aus *A* sind und dann folgen die zwei Axiome...
Nun gut, in unserem Fall heißt unser Funktor nicht F sondern [mm] M_{A} [/mm] und die Objektzuordnung ist gegeben durch:
[mm] M_{A}: [/mm] ob(*A*) -> ob(*S*)
X [mm] \mapsto [/mm] Mor(A,X).
Das verstehe ich, und das finde ich auch in der Definition von oben wieder.
Aber als Abbildung haben wir
[mm] M_{A}(\varphi): [/mm] Mor(A,X) -> Mor(A,X')
für [mm] \varphi: [/mm] X -> X'.
(1) Ist [mm] M_{A}(\varphi) [/mm] jetzt der Name der Abbildung (also ähnlich wie in der Schule Abbildungen f hießen...) oder ist das ein Morphismus (so wie in der Schule f(x)... sorry, ich weiß nicht wie ich mein Problem verdeutlichen soll)?
oder: soll mit diesem blöden "von [mm] \varphi" [/mm] verdeutlicht werden, woher praktisch X und X' kommen?
> Zu überlegen ist ja, dass für [mm]\varphi \in Mor(X,X')[/mm] gilt:
>
> [mm]M_A(\varphi) \in Mor(M_A(X), M_A(X'))[/mm].
Ich verstehe nicht was hier passiert: [mm] \varphi [/mm] ist doch ein Morphismus, aber wie wird darauf nun darauf [mm] M_{A} [/mm] angewendet? Nach welcher Vorschift? Und wieso ist das wichtig?
> Wir müssen uns somit klarmachen, dass für alle [mm]g \in M_A(X) = Mor(A,X)[/mm]
> gilt:
>
> [mm][M_A(\varphi)](g) \in M_A(X') = Mor(A,X')[/mm].
>
> Nun haben wir aber:
>
> [mm][M_A(\varphi)](g) = \underbrace{\varphi}_{\in Mor(X,X')} \circ \underbrace{g}_{\in Mor(A,X)} \in Mor(A,X')= M_A(X')[/mm]
>
Ich sehe, dass wenn man [mm] M_{A}(\varphi) [/mm] auf g anwendet ein Morphismus von A nach X' herauskommt. Aber es ist mir schleierhaft, wieso diese Abbildung der allgemeinen Definition von oben entspricht.
Müsste die Abbildungsvorschritf nicht eher in etwa so lauten:
[mm] M_{A}: [/mm] Mor(A,X) -> [mm] Mor(M_{A}(A), M_{A}(X)) [/mm] ?
Deine Beschreibung der Kategorentheorie muss ich mir merken! Ich bin ziemlich beeindruckt davon, dass das ganze wohl "neuere Mathematik" ist (in der Schule dachte man ja immer, dass alles bei Pythagoras seinen Ursprung hat...) und dass hunderttausend Sachen in Verbindung gebracht werden... da wird mir manchmal leicht schwindelig
Viele Grüße, dancingestrella
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo dancingestrella!
Ich kann verstehen, dass dir schwindelig wird. Was meinst du, wie es wird, wenn es in der Kategorientheorie richtig zur Sache geht? Das hier sind erst die (recht trivialen) Anfänge. Ich habe mich mal sehr intensiv damit beschäftigt, weil es ungeheuer faszinierend ist, welche scheinbar völlig unterschiedlichen mathematischen Konzepte man in der Kategorientheorie vereinigen kann. Es ist wirklich herrlicher abstrakter Nonsens.
Also, du hast recht: [mm] $M_A$ [/mm] ordnet als Funktor Objekte Objekte und Morphismen Morphismen zu. Im Übrigen können Morphismen nicht zwangsläufig als Abbildungen interpretiert werden, in vielen Kategorien (Kategorie der Mengen, Gruppen,...) allerdings schon.
Wir haben also:
[mm] $M_A [/mm] : Mor(X,X') [mm] \to Mor(M_A(X), M_A(X'))$.
[/mm]
Was bedeutet das nun?
Es bedeutet:
Für alle [mm] $\varphi \in [/mm] Mor(X,X')$ ist [mm] $M_A(\varphi) \in Mor(M_A(X), M_A(X'))$.
[/mm]
Und genau das habe ich uns zunächst klargemacht, dass also wirklich [mm] $M_A(\varphi) \in Mor(M_A(X), M_A(X'))$ [/mm] gilt. Wir müssen uns dabei also vergewissern, dass für alle Morphismen [mm] $\varphi$ [/mm] (zwischen den beiden Objekten $X$ und $X'$) auch [mm] $M_A(\varphi)$ [/mm] ein Morphismus ist - zwischen den beiden Objekten [mm] $M_A(X)$ [/mm] und [mm] $M_A(X')$.
[/mm]
Und jetzt kommt vielleicht für dich die Schwierigkeit: Die scheinbar harmlosen Objekte [mm] $M_A(X)$ [/mm] und [mm] $M_A(X')$ [/mm] sind insofern schwierig zu verarbeiten, wenn man sich das erste Mal damit beschäftigt, da sie selber wieder aus Morphismen bestehen! Denn wir hatten ja: [mm] $M_A(X) [/mm] = Mor(A,X)$.
Also, noch einmal [mm] $M_A$ [/mm] ordnet in diesem Fall Morphismen Morphismen zwischen Objekten zu, die selber wieder aus Morphismen bestehen. Das ist nichts Ungewöhnliches: Es geht noch weit abstrakter und verdrehter - keine Sorge!
Wie wirkt also [mm] $M_A(\varphi)$ [/mm] für [mm] $\varphi \in [/mm] Mor(X,X')$?
Es muss einem Morphismus $g$ aus $Mor(A,X)$ einen Morphismus [mm] $[M_A(\varphi)](g)$ [/mm] aus $Mor(A,X')$ zuordnen. Na und? Soll das ein Problem für uns sein?
Wie bekomme ich denn aus einem Morphismus $g$ zwischen $A$ und $X$ einen Morphismus zwischen $A$ und $X'$?
Na, am besten doch dadurch, dass ich einen Morphismus zwischen $X$ und $X'$ schalte und den nach $g$ anwende! Dann komme ich ja von $A$ nach $X'$ (erst von $A$ nach $X$ und dann von $X$ nach $X'$). Und hier springt uns [mm] $\varphi \in [/mm] Mor(X,X')$ hilfsbereit zur Seite! Fast so, als hätte es gerade auf diesen Moment gewartet. Und so ist es auch: Wir definieren:
[mm] $[M_A(\varphi)](g) [/mm] = [mm] \varphi \circ [/mm] g$.
Wie wirkt also [mm] $M_A$?
[/mm]
Es ordnet einem Morphismus [mm] $\varphi \in [/mm] Mor(X,X')$ einen Morphismus zwischen $Mor(A,X)$ und $Mor(A,X')$ zu: Indem man einfach [mm] $\varphi \in [/mm] Mor(X,X')$ nach dem Morphismus $g [mm] \in [/mm] Mor(A,X)$ ausführt und so einen Morphismus $Mor(A,X')$ erhält!
Ich hoffe ich konnte es dir etwas klarer machen!
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mo 19.09.2005 | | Autor: | statler |
> Hallo dancingestrella!
>
> Ich kann verstehen, dass dir schwindelig wird. Was meinst
> du, wie es wird, wenn es in der Kategorientheorie richtig
> zur Sache geht? Das hier sind erst die (recht trivialen)
> Anfänge. Ich habe mich mal sehr intensiv damit beschäftigt,
> weil es ungeheuer faszinierend ist, welche scheinbar völlig
> unterschiedlichen mathematischen Konzepte man in der
> Kategorientheorie vereinigen kann. Es ist wirklich
> herrlicher abstrakter Nonsens.
>
> Also, du hast recht: [mm]M_A[/mm] ordnet als Funktor Objekte Objekte
> und Morphismen Morphismen zu. Im Übrigen können Morphismen
> nicht zwangsläufig als Abbildungen interpretiert werden, in
> vielen Kategorien (Kategorie der Mengen, Gruppen,...)
> allerdings schon.
>
> Wir haben also:
>
> [mm]M_A : Mor(A,X) \to Mor(M_A(X), M_A(X'))[/mm].
Wohl ein kleiner Tippfehler (bei dieser Art Mathematik ein völlig natürlicher Vorgang):
[mm]M_A : Mor(X,X') \to Mor(M_A(X), M_A(X'))[/mm]
Oder verhaspele ich mich jetzt? Auch ein völlig natürlicher Vorgang!
>
> Was bedeutet das nun?
>
> Es bedeutet:
>
> Für alle [mm]\varphi \in Mor(X,X')[/mm] ist [mm]M_A(\varphi) \in Mor(M_A(X), M_A(X'))[/mm].
>
> Und genau das habe ich uns zunächst klargemacht, dass also
> wirklich [mm]M_A(\varphi) \in Mor(M_A(X), M_A(X'))[/mm] gilt. Wir
> müssen uns dabei also vergewissern, dass für alle
> Morphismen [mm]\varphi[/mm] (zwischen den beiden Objekten [mm]X[/mm] und [mm]X'[/mm])
> auch [mm]M_A(\varphi)[/mm] ein Morphismus ist - zwischen den beiden
> Objekten [mm]M_A(X)[/mm] und [mm]M_A(X')[/mm].
>
> Und jetzt kommt vielleicht für dich die Schwierigkeit: Die
> scheinbar harmlosen Objekte [mm]M_A(X)[/mm] und [mm]M_A(X')[/mm] sind
> insofern schwierig zu verarbeiten, wenn man sich das erste
> Mal damit beschäftigt, da sie selber wieder aus Morphismen
> bestehen! Denn wir hatten ja: [mm]M_A(X) = Mor(A,X)[/mm].
>
> Also, noch einmal [mm]M_A[/mm] ordnet in diesem Fall Morphismen
> Morphismen zwischen Objekten zu, die selber wieder aus
> Morphismen bestehen. Das ist nichts Ungewöhnliches: Es geht
> noch weit abstrakter und verdrehter - keine Sorge!
>
> Wie wirkt also [mm]M_A(\varphi)[/mm] für [mm]\varphi \in Mor(X,X')[/mm]?
>
> Es muss einem Morphismus [mm]g[/mm] aus [mm]Mor(A,X)[/mm] einen Morphismus
> [mm][M_A(\varphi)](g)[/mm] aus [mm]Mor(A,X')[/mm] zuordnen. Na und? Soll das
> ein Problem für uns sein?
>
> Wie bekomme ich denn aus einem Morphismus [mm]g[/mm] zwischen [mm]A[/mm] und
> [mm]X[/mm] einen Morphismus zwischen [mm]A[/mm] und [mm]X'[/mm]?
>
> Na, am besten doch dadurch, dass ich einen Morphismus
> zwischen [mm]X[/mm] und [mm]X'[/mm] schalte und den nach [mm]g[/mm] anwende! Dann
> komme ich ja von [mm]A[/mm] nach [mm]X'[/mm] (erst von [mm]A[/mm] nach [mm]X[/mm] und dann von
> [mm]X[/mm] nach [mm]X'[/mm]). Und hier springt uns [mm]\varphi \in Mor(X,X')[/mm]
> hilfsbereit zur Seite! Fast so, als hätte es gerade auf
> diesen Moment gewartet. Und so ist es auch: Wir
> definieren:
>
> [mm][M_A(\varphi)](g) = \varphi \circ g[/mm].
>
> Wie wirkt also [mm]M_A[/mm]?
>
> Es ordnet einem Morphismus [mm]\varphi \in Mor(X,X')[/mm] einen
> Morphismus zwischen [mm]Mor(A,X)[/mm] und [mm]Mor(A,X')[/mm] zu: Indem man
> einfach [mm]\varphi \in Mor(X,X')[/mm] einfach hinter dem Morphismus
> [mm]g \in Mor(A,X)[/mm] ausführt und so einen Morphismus [mm]Mor(A,X')[/mm]
> erhält!
>
> Ich hoffe ich konnte es dir etwas klarer machen!
>
> Liebe Grüße
> Stefan
An Stefan: Vielleicht kommt mal eine Frage aus diesem Bereich, die so richtig in die Vollen geht, so mit proj lim usw....., dann kannst du dich prima austoben
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hi Stefan!!!
*Freudentanz* ich habe es verstanden und jetzt endlich erkannt, dass so eine, wie die Definition es verlangt, Morphismenabbildung vorliegt. Wenn ich es morgen immer noch verstehe, dann ist die Welt wieder ein Stückchen mehr in Ordnung
Danke.
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hi...
nachdem ich nun die konstruktion verstanden habe, ein/zwei Fragen zum Nachweis der Axoime:
>
> 1) Es gilt für [mm]X \in \star A \star[/mm] und [mm]g \in M_A(X)= Mor(A,X)[/mm]:
>
> [mm][M_A(1_X)](g) = 1_X \circ g = g[/mm],
Verstanden, ist ja eben so definiert, aber deine Schlussfolgerung nun verstehe ich nicht... funktioniert das wie bei 2)?
> also:
>
> [mm]M_A(1_X) = 1_{Mor(A,X)} = 1_{M_A(X)}[/mm].
>
> 2) Sind [mm]\psi \in Mor(X,X')[/mm] und [mm]\varphi \in Mor(X',X'')[/mm],
> dann gilt für alle [mm]g \in M_A(X) = Mor(A,X)[/mm]:
>
> [mm][M_A(\varphi \circ \psi)](g) = (\varphi \circ \psi) \circ (g) = \varphi \circ (\psi \circ g) = M_A(\varphi)\{[M_A(\psi)](g)]\} = [M_A(\varphi) \circ M_A(\psi)](g)[/mm],
>
Wieder nur die Definition angewendet und die Assoziativität bei [mm] \circ [/mm] genutzt, oder?
Und da du gezeigt hast, dass dies für alle [mm] g\in [/mm] Mor(A,X) gilt, sind
[mm] M_A(\varphi \circ \psi) [/mm] und [mm] M_A(\varphi) \circ M_A(\psi)
[/mm]
gleich. Ist das die richtige Begründung???
viele Grüße, dancingestrella
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