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| Aufgabe | f: [mm] \IR \to \IR [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2} , & \mbox {falls x} \le c \\ax+b, & \mbox{falls x>c} \end{cases}
[/mm]
Finde a und b (n Abhängigkeit von c), so dass f´(c) existiert. |
[mm] f'(x)=\begin{cases} 2x , & \mbox{falls x} \le c \\ a, & \mbox{falls x>c} \end{cases}
[/mm]
[mm] f'(c)=\begin{cases} 2c , & \mbox{falls x} \le c \\ a, & \mbox{falls x>c} \end{cases}
[/mm]
an der stelle c müssen beide teilfunktionen die gleiche Steigung haben, damit f´(c) exisistiert, also:
2c=a [mm] \Rightarrow [/mm] a=2c
ich habe probleme nun b zu bestimmen, zuerst dachte ich, b kann beliebig geählt werden, aber wenn man sich die beiden funktionen anschaut sieht man sofort, dass b nicht x-beliebig gewählt werden kann..
eigentlich ist ja b von a behängig... wenn a fest ist, gibt es für dieses a ein bestimmtes b.... (a beschreibt ja die Steigung des Graphen und b den oordinatenabschnitt)
falls x>c:
[mm] f(c)=ac+b=2c^{2}+b \Rightarrow b=f(c)-2c^{2}
[/mm]
wenn ich für f(c) was einsetze kürzt sich das b wieder raus.... was mach ich denn falsch?!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weihnachtsman!
Auch die Funktionswerte an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ c$ müssen übereinstimmen, so dass auch gelten muss:
$$f(c) \ = \ [mm] c^2 [/mm] \ = \ a*c+b$$
Für $a_$ kannst Du ja einsetzen (gemäß Deiner Rechnung): $a \ = \ 2*c$ .
Daraus lässt sich dann auch $b_$ ermitteln.
Gruß
Loddar
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oh stimmt, hatte die andere teilfunktion irgendwie unter den tisch fallen lassen
[mm] b=-c^2 [/mm] stimmts?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weihnachtsman!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das habe ich auch erhalten ...
Gruß
Loddar
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> [mm]f'(c)=\begin{cases} 2c , & \mbox{falls x} \le c \\ a, & \mbox{falls x>c} \end{cases}[/mm]
>
muss man hier nicht "falls x [mm] \le [/mm] c ..." streichen? da ich ja jetzt c für x eingesetzt habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weihnachtsman!
Wenn man ganz genau ist, müsste man hier wohl auch die Grenzwertdarstellung wählen.
Gruß
Loddar
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was meinst du jetzt? war das eine antwort auf meine frage?!? versteh nicht genau was du meinst... ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weihnachtsman!
Für $f'(c)_$ darf man ganz genau auch nur $f'(c) \ = \ 2c$ schreiben (unter der Voraussetzung, dass $f(x)_$ auch wirklich durch entsprechende $a_$ und $b_$ an der Stelle $x \ = \ c$ differenzierbar ist).
Das heißt, dass Deine Darstellung auch nicht 100%-ig exakt dargestellt ist.
Gruß
Loddar
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