funktionenschar < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ich hab die Aufgabe eingescannt: http://www.loofer.de/funktionsschar.jpg |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
kann mir jemand die Lösung für a.) geben damit ich das mit meinen Ergebnissen überprüfen kann und mir eine Herangehensweise für b.) geben, weil da habe ich absolut gar keine Idee !
Da bräuchte ich glaub eine komplette Rechnung
Die Sache ist die, normalerweise würde mich das gar nicht so stören, wenn ich mal was nicht hab oder falsch, aber die Aufgabe dort bekomme ich benotet, also würde ich mich über eure Hilfe sehr freuen !
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 So 29.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Hi,
also erstmal zu a)
[mm] f(x)=-\bruch{1}{2a²}x^{4}+\bruch{1}{a}x³
[/mm]
Als Schnittpkt. mit der x-Achse hab ich S(0;0) und S(2a;0)
Es gibt einen Hochpkt. bei [mm] H(\bruch{3}{2}a;\bruch{27}{32}a²)
[/mm]
Der andere Extrempkt. ist ein Sattelpkt.
Die Wendepkt. sind bei W(0;0) und [mm] W(a;\bruch{a²}{2})
[/mm]
Hast du das auch so?
Ich schau mir jett nochmal b) an
mfG Anne
|
|
|
| |
|
also die schnittpunkte hab ich genauso, aber den Hochpunkt und die Wendestelle anders. Hier mal mein (bestimmt falschen) Rechenweg:
Zuerst mal die ersten 3 Ableitungen:
[mm] $f'(x)=-\bruch{2}{a^2}x³+\bruch{3}{a}x²$
[/mm]
[mm] $f''(x)=-\bruch{6}{a^2}x²+\bruch{6}{a}x$
[/mm]
[mm] $f'''(x)=-\bruch{12}{a^2}x+\bruch{6}{a}$
[/mm]
Hochpunktberechnung:
[mm] $0=-\bruch{2}{a^2}x³+\bruch{3}{a}x²$
[/mm]
[mm] $0=\bruch{2}{a²}x²(\bruch{1,5a}{a²}-x)$
[/mm]
--> $x=0$ und [mm] $x=\bruch{1,5a}{a²}$ [/mm] also gekürzt: [mm] $x=\bruch{3}{2a}$
[/mm]
Wenn ich nun [mm] $x=\bruch{3}{2a}$ [/mm] in die Ausgangsgleichung einsetze bekomme ich da aber nichts mit a² raus sondern eher was mit [mm] a^{6} [/mm] (da das bestimmt eh falsch ist hab ich den Rechenweg dafür jetzt nicht mit hingeschrieben) - kannst du mir das nochmal zeigen wie du das gerechnet hast?
Nun zum Wendepunkt:
2. Ableitung null setzen:
[mm] $0=-\bruch{6}{a^2}x²+\bruch{6}{a}x$ [/mm] // durch [mm] $-\bruch{6}{a²}$
[/mm]
[mm] $0=x²+(\bruch{6}{a} [/mm] * [mm] -\bruch{a²}{6})x$
[/mm]
$0=x²-a$
[mm] $x=\wurzel{a}$ [/mm] und [mm] $x=-\wurzel{a}$
[/mm]
Wo liegt mein Fehler? :(
Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Di 31.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Hi,
zu1) wenn du [mm] \bruch{3}{2}a [/mm] in die Ausgangsgleichung einsetzt erhälst du:
[mm] f(\bruch{3}{2}a)=-\bruch{1}{2a²}*(\bruch{3}{2}a)^{4}+\bruch{1}{a}*(\bruch{3}{2}a)³
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2a²}*(\bruch{81}{16}a^{4})+\bruch{1}{a}*(\bruch{27}{8}a³)
[/mm]
[mm] =-\bruch{81}{32}a²+\bruch{27}{8}a²
[/mm]
[mm] =\bruch{27}{32}a²
[/mm]
zu2) [mm] 0=-\bruch{6}{a²}*x²+\bruch{6}{a}*x
[/mm]
zuerst x ausklammern:
[mm] 0==x*(-\bruch{6}{a²}*x+\bruch{6}{a})
[/mm]
Wenn ein Produkt Null ist muss min. einer der Faktoren Null sein!
1. Fall:x=0
2.Fall: [mm] -\bruch{6}{a²}*x+\bruch{6}{a}=0
[/mm]
Bei 2) umstellen: [mm] \bruch{6}{a²}*x=\bruch{6}{a}
[/mm]
dann durch [mm] \bruch{6}{a²} [/mm] teilen
x=a
Ich hoffe du durchsteigst den Rechenweg jetzt etwas besser!
Gruß, Anne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Di 31.10.2006 | | Autor: | user291006 |
ja danke, hab es jetzt auch alles so raus, mit den Brüchen das war noch nie so mein Ding irgendwie verechne ichmich da andauernd aber jetzt weiß ich wenigstens was ich falsch gemacht hatte :)
Ich schau mir heut Abend mal die b.) an
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 So 29.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Bei b) musst du zuerst die Gleichung der Normalen bekommen. Da dies eine lineare Gleichung ist, gehst du aus von y=mx+n Dafür brauchst du den Punkt (also [mm] W(a;\bruch{a²}{2}). [/mm] Außerdem benötigst du m. Das kriegst du raus, wenn du den x-Wert des Punktes in die 2. Abl.einsetzt. Da müsste dann a rauskommen. Das ist der Anstieg in dem Pkt. Da es aber um die Normale und nicht um die Tangente geht, negierst du den Anstieg, er ist also -a.
Das setzt du dann alles in y=mx+n ein und stellst nach n um. Dann ist deine Gleichung komplett.
Du willst ja nun aber nicht die Gleichung haben, sondern den Punkt P und der ist ja der Schnittpkt. mit der x-Achse. Also machst du eine Nullstellenberechnung. Dabei müsstest du auf S(1,5a;0) kommen.
Jetzt hast du dein Dreieck OPW. Davon den Flächeninhalt zu berechnen ist gar nicht so schwer:
Die übliche Gleichung lautet ja A=a*b*0,5
Für a setzt du jetzt einfach den x-Wert von P ein und für b den y-Wert des Wendepkt. (wenn du das Ganze gezeichnet hast, weißt du warum)
Wenn du beim letzten Teil der Aufgabe dann noch wissen willst, wann der Flächeninhalt 13 wird, dann setzt du einfach 13 mit deinem allg. Ergebnis für A ein und stellst nach a um .... und voila!
PS: Selbst wenn ich mich bei ein paar Werten verrechnet hab, der Ansatz bleibt derselbe!
Gruß, Anne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Anne
Bei der Steigung der Normalen hast du einen "Dreher" drin.
Es gilt ja: [mm] m*m_{\perp}=-1
[/mm]
Wenn m=a, wie hier, damm gilt [mm] m_{\perp}=-\bruch{1}{a}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Di 31.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Hoppala,
danke für die Korrektur!
Anne
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ok also um dieses Dreieck zu bilden brauch ich die Normale y=mx+n, so nun
hab ich wie beschrieben den x wert des Wendepunktes in die 2. Ableitung eingesetzt - (wieso eigentlich die 2.? kriegt man den anstieg nicht raus wenn man die erste ableitung dafür benutzt)
nunja a in die 2. ableitung eingesetzt:
[mm] $-\bruch{6}{(a)²}x²+\bruch{6}{(a)}x$
[/mm]
das ist ja die gleiche Gleichung wie zur Wendestelle also kommt a raus wie du beschrieben hast, und nun kommt schon das nächste was ich nicht verstehe warum mach ich jetzt aus a [mm] $m=-\bruch{1}{a}$ [/mm] ? die normale ist doch eine normale, warum muss ich da noch was negativ machen ? Ich kenn das nur von Tangenten mit -1
so dann hab ich n ausgerechnet:
[mm] $\bruch{a²}{2}=-\bruch{1}{a}\cdot [/mm] a+n$
[mm] $n=\bruch{a²+2}{2}$
[/mm]
irgendwie hab ich wieder das Gefühl das dies falsch ist, deswegen hab ich hier erstmal aufgehört ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du willst die Normale durch den Wedepunkt [mm] w(a;\bruch{a²}{2}) [/mm] bestimmen.
Du weisst, das es eine Gerade der Form n(x)=mx+b ist.
Hiervon musst du noch m und n bestimmen.
Famgen wir mit m an.
Die Tangete am Wendepunkt ist hat je sdie Steigung f'(a)=a,
Wenn du jetzt eine Gerade haben willst, die senkrecht dazu steht, dies werden auch Normalen genannt gilt:
[mm] m_{orig.}*m_{\perp}=-1
[/mm]
Also in deinem Fall
[mm] a*\underbrace{m_{\perp}}_{gesucht}=-1
[/mm]
[mm] \gdw m=-\bruch{1}{a}
[/mm]
Also weisst du, dass die Normale die Form [mm] n(x)=-\bruch{1}{a}x+b [/mm] hat.
Jetzt weisst du, dass sie durch W gehen soll, also gilt:
[mm] \bruch{a²}{2}=-\bruch{1}{a}a+b
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{a²}{2}=-1+b
[/mm]
[mm] \gdw b=\bruch{a²}{2}+1=\bruch{a²+2}{2}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
super, jetzt hab ich das verstanden, warum und wie das gemacht wird.
Ich hab gleich mal den Rest gerechnet, kann das auch mal noch jemand bitte überprüfen:
Die Normale [mm] $y=-\bruch{1}{a}x+\bruch{a²+2}{2}$
[/mm]
Schnittpunkt mit der x-Achse herausfinden (Punkt P):
[mm] $0=-\bruch{1}{a}x+\bruch{a²+2}{2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{a}x=\bruch{a²+2}{2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{a²+2}{2}\cdot \bruch{a}{1}=x$
[/mm]
[mm] $x=\bruch{a³+2a}{2}$
[/mm]
Flächeninhalt berechnen:
A=a*b*0,5
[mm] $A=\bruch{a³+2a}{2}\cdot \bruch{a²}{2} \cdot [/mm] 0,5$
[mm] $A=\bruch{a^5+2a³}{2}\cdot [/mm] 0,5$
[mm] $A=\bruch{0,5a^5+a³}{2}$
[/mm]
13 einsetzen:
[mm] $13=\bruch{0,5a^5+a³}{2}$
[/mm]
[mm] $26=0,5a^{5}+a³$
[/mm]
so und das kann ich nicht weiter lösen...
außerdem wenn ich für a die 2 einsetze komme ich beim schnittpunkt der x-achse mit der rechnung auf 6, bei der Zeichnung auf 1,5 --> Da stimmt doch wieder irgendetwas nicht?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 01.11.2006 | | Autor: | user291006 |
kann mir denn niemand sagen, ob das so richtig ist, muss ich morgen abgeben die aufgabe :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mi 01.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
> super, jetzt hab ich das verstanden, warum und wie das
> gemacht wird.
> Ich hab gleich mal den Rest gerechnet, kann das auch mal
> noch jemand bitte überprüfen:
>
Nur keine Hektik, hier wird geholfen.
> Die Normale [mm]y=-\bruch{1}{a}x+\bruch{a²+2}{2}[/mm]
>
> Schnittpunkt mit der x-Achse herausfinden (Punkt P):
> [mm]0=-\bruch{1}{a}x+\bruch{a²+2}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{a}x=\bruch{a²+2}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{a²+2}{2}\cdot \bruch{a}{1}=x[/mm]
> [mm]x=\bruch{a³+2a}{2}[/mm]
>
Korrekt
> Flächeninhalt berechnen:
> A=a*b*0,5
Das ist noch korrekt
> [mm]A=\bruch{a³+2a}{2}\cdot \bruch{a²}{2} \cdot 0,5[/mm]
Ab hier passt es nicht meh. Mit reiner Bruchrechnung sieht man es eher.
Korrektur siehe Unten:
>
> [mm]A=\bruch{a^5+2a³}{2}\cdot 0,5[/mm]
> [mm]A=\bruch{0,5a^5+a³}{2}[/mm]
>
> 13 einsetzen:
> [mm]13=\bruch{0,5a^5+a³}{2}[/mm]
> [mm]26=0,5a^{5}+a³[/mm]
>
> so und das kann ich nicht weiter lösen...
> außerdem wenn ich für a die 2 einsetze komme ich beim
> schnittpunkt der x-achse mit der rechnung auf 6, bei der
> Zeichnung auf 1,5 --> Da stimmt doch wieder irgendetwas
> nicht?!
Korrektur:
[mm] A=\bruch{1}{2}\bruch{a³+2a}{2}\bruch{a²}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(a³+2a)*a²}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{a^{5}+2a³}{8}
[/mm]
Wenn du jetzt A=13 einsetzt, ergibt sich:
[mm] \bruch{a^{5}+2a³}{8}=13
[/mm]
[mm] \gdw a^{5}+2a³=104
[/mm]
[mm] \gdw a^{5}+2a³-104=0
[/mm]
Das ganze musst du jetzt nach a auflösen.
Das kalppt leider nicht mit den "Standardmethoden", also musst du das entwerde per Derive, oder ![[]](/images/popup.gif) hier im Internet Lösen.
Ich komme auf a=2,3834584
Ich hoffe, ich habe mich nicht auch verrechnet.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mi 01.11.2006 | | Autor: | user291006 |
Derive hatten wir noch nicht, habe da nichts raus für a.
(Wenn ich deinen Wert einsetze komme ich auf -0,99)
Lässt mich ja glatt vermuten das ist nicht korrekt, aber auf jeden Fall stimmt doch die Zeichnung mit dem größten Teil der Berechnung überein (hatte mich da vorhin verzeichnet).
Achso: Ich weiß nicht, ob du das gezeichnet hast, aber wenn du das alles mit a=2 zeichnest kriegst du 9 FE beim Flächeninhalt (hab gezählt), mit der allgemeinen Formel nur 6 FE
Gruß Felix
|
|
|
|
