gebrochen rationale Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend =)
Ich habe hier eine gebrochen rationale Funktion, die ich aufleiten soll. Leider ist sie ziemlich schwierig und ich weiß nicht wie ich das machen soll...
[mm] f_{x}=\bruch{3}{x-2} [/mm] + [mm] \bruch{x}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{5x}{x+1}
[/mm]
Die normale Funktion habe ich schon errechnet:
[mm] \bruch{6x^3-13x^2+8x-3}{(x-2)*(x-1)*(x+1)}
[/mm]
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Hi, SweetMiezi,
wenn Du eine gebrochen-rationale Funktion integrieren sollst, dann darfst Du sie auf keinen Fall zusammenfassen, wie Du es getan hast! Im Gegenteil: Eine Zerlegung des Terms in der vorgegebenen Weise vereinfacht bzw. ermöglich überhaupt erst die Integralrechnung!
> [mm]f_{x}=\bruch{3}{x-2}[/mm] + [mm]\bruch{x}{x-1}[/mm] + [mm]\bruch{5x}{x+1}[/mm]
Du musst nun die 3 Bruchterme getrennt integrieren, wobei in allen Fällen letztlich dieselbe Regel gebraucht wird, nämlich:
[mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx} [/mm] = ln(|f(x)|) + c (in Intervallen der Definitionsmenge).
Der wichtigste Sonderfall ist, dass der Nenner f(x) linear ist, der Zähler konstant.
Beispiele:
[mm] \integral{\bruch{1}{x+5} dx} [/mm] = ln(|x+5|) + c
Wie Du siehst, ergibt der Nenner, also x+5, abgeleitet den Zähler, also 1. Drum ist die "Formel" hier verwendbar.
[mm] \integral{\bruch{2}{2x-7} dx} [/mm] = ln(|2x-7|) + c
Auch hier: Nenner (2x-7) gibt abgeleitet den Zähler (2); Formel brauchbar.
Nun zu Deinem ersten Teilbruch:
[mm] \integral{\bruch{3}{x-2} dx}
[/mm]
Dein Nenner (x-2) gibt abgeleitet 1; leider steht 3 im Zähler: Macht aber nichts, weil: die 3 kannst Du vor's Integral ziehen:
[mm] 3*\integral{\bruch{1}{x-2} dx}
[/mm]
Und jetzt ist die Formel verwendbar:
3*ln(|x-2|) + c.
Für die andern 2 Integrale musst Du vorher noch die Polynomdivision durchführen (x : (x-1) bzw. 5x : (x+1) ).
Dann erhältst Du Konstante, die Du problemlos integrieren kannst
und 2 Bruchterme, die Du genauso wie von mir beschrieben integrierst; und am Ende zählst Du alles wieder zusammen!
mfG!
Zwerglein
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Dankeschön für deine AUSFÜHRLICHE Antwort...ist dir echt gut gelungen und sehr verständlich. Ich werde es nun selbst versuchen, dank dir =)
Dir noch einen schönen Abend
ciao SweetMiezi
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