gedämpfter Federschwinger < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 15.12.2009 | | Autor: | hotblack |
| Aufgabe | Ein gedämpfter Federschwinger (Masse m= 2 kg, Federkonstante k = 10N/m, Widerstandskraft [mm] $F_W [/mm] = -R * v$) schwingt anfangs mit 0.25 m Amplitude. Für ihn gilt folgende Di erentialgleichung:
[mm] $m\ddot{x} [/mm] = -k*x - [mm] R\dot{x}$
[/mm]
Nach 4 Schwingungen ist die Amplitude um 25% kleiner geworden. Bestimmen Sie den Reibungskoeffizienten R. |
Hallo zusammen,
zur obigen Aufgabe:
mein erster Schritt ist Umstellung der Diff-Gleichung in
[mm] $\ddot{x} [/mm] + [mm] \frac{k}{m}x [/mm] + [mm] \frac{R}{m}\dot{x} [/mm] = 0$
weiter gehts mit dem Ansatz
$x(t) = [mm] A*e^{i\omega t}$
[/mm]
und damit
[mm] $\dot{x}(t) [/mm] = [mm] i\omega A*e^{i\omega t}$
[/mm]
und
[mm] $\ddot{x}(t) [/mm] = [mm] -\omega^2 A*e^{i\omega t}$
[/mm]
oben eingesetzt komme ich auf
[mm] $-\omega^2+\frac{k}{m}+\frac{Ri\omega}{m} [/mm] = 0$
und nach Lösen der quadratischen Gleichung auf
[mm] $\omega_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{Ri}{2m} \pm \sqrt{-\frac{R^2}{4m^2} + \frac{k}{m}}$
[/mm]
Nun betrachte ich die allgemeine Lösung
$x(t) = [mm] A_1 *e^{i\omega_1 t} [/mm] + [mm] A_2 *e^{i\omega_2 t}$
[/mm]
und da weiss ich ja dass
$x(0) = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2$
[/mm]
Ausserdem ist bekannt dass
[mm] $x(t_1) [/mm] = 0.75*x(0)$
[mm] $=0.75*A_1 [/mm] + [mm] 0.75*A_2$
[/mm]
[mm] $=A_1*e^{i\omega_1 t} [/mm] + [mm] A_2 [/mm] * [mm] e^{i\omega_2 t}$
[/mm]
ist.
Nun dachte ich an Koeffizientenvergleich, woraus folgen würde, dass
[mm] $e^{i\omega_1 t} [/mm] = [mm] e^{i\omega_2 t}$
[/mm]
und somit
[mm] $\omega_1 [/mm] = [mm] \omega_2$
[/mm]
Nach einigem Umstellen komme ich damit auf auf
[mm] $R=\sqrt{4km}$
[/mm]
Meine Frage ist nun, ob man das so machen kann, ich bin mir insbesondere mit dem Koeffizientenvergleich nicht sicher...
Danke und Gruß,
hotblack
PS: Wie immer nirgendwoanders gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mi 16.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ein gedämpfter Federschwinger (Masse m= 2 kg,
> Federkonstante k = 10N/m, Widerstandskraft [mm]F_W = -R * v[/mm])
> schwingt anfangs mit 0.25 m Amplitude. Für ihn gilt
> folgende Di erentialgleichung:
> [mm]m\ddot{x} = -k*x - R\dot{x}[/mm]
> Nach 4 Schwingungen ist die
> Amplitude um 25% kleiner geworden. Bestimmen Sie den
> Reibungskoeffizienten R.
> Hallo zusammen,
> zur obigen Aufgabe:
> mein erster Schritt ist Umstellung der Diff-Gleichung in
> [mm]\ddot{x} + \frac{k}{m}x + \frac{R}{m}\dot{x} = 0[/mm]
>
> weiter gehts mit dem Ansatz
> [mm]x(t) = A*e^{i\omega t}[/mm]
dieser Ansatz ist ungeschickt. man setzt an:
[mm] x(t)=A*e^{\lambda*t}
[/mm]
dann hast du :
[mm] \lambda=-R/2m\pm\sqrt{\frac{R^2}{4m^2} - \frac{k}{m}}=\alpha\pm [/mm] i*omega
jetzt hast du deutlich einen Realteil, und falls [mm] \frac{R^2}{4m^2} [/mm] - [mm] \frac{k}{m}<0 [/mm] einen Imaginärteil.
Damit hast du die Lösung [mm] x(t)=e^{-R/2m*t}*(A1*e^{i\omega*t}+A2*e^{-i\omega*t}
[/mm]
x(0)=A1+A2
ich denke, du kannst [mm] x(0)=A_0, [/mm] x'(0)=0 setzen und ann hast du einfach [mm] x(t)=A_0*e^{-R/2m*t}*cos(\omega*t)
[/mm]
und musst nur [mm] A_0*e^{-R/2m*t}=0.75A_0 [/mm] setzen.
Der Rest ist komisch, insbesondere dein Koeffizientenvergleich.
> und damit
> [mm]\dot{x}(t) = i\omega A*e^{i\omega t}[/mm]
> und
> [mm]\ddot{x}(t) = -\omega^2 A*e^{i\omega t}[/mm]
>
> oben eingesetzt komme ich auf
> [mm]-\omega^2+\frac{k}{m}+\frac{Ri\omega}{m} = 0[/mm]
> und nach
> Lösen der quadratischen Gleichung auf
> [mm]\omega_{1/2} = \frac{Ri}{2m} \pm \sqrt{-\frac{R^2}{4m^2} + \frac{k}{m}}[/mm]
>
> Nun betrachte ich die allgemeine Lösung
> [mm]x(t) = A_1 *e^{i\omega_1 t} + A_2 *e^{i\omega_2 t}[/mm]
> und da
> weiss ich ja dass
> [mm]x(0) = A_1 + A_2[/mm]
>
> Ausserdem ist bekannt dass
> [mm]x(t_1) = 0.75*x(0)[/mm]
> [mm]=0.75*A_1 + 0.75*A_2[/mm]
>
> [mm]=A_1*e^{i\omega_1 t} + A_2 * e^{i\omega_2 t}[/mm]
> ist.
> Nun dachte ich an Koeffizientenvergleich, woraus folgen
> würde, dass
> [mm]e^{i\omega_1 t} = e^{i\omega_2 t}[/mm]
> und somit
> [mm]\omega_1 = \omega_2[/mm]
Das ist auf jedenFall falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 17.12.2009 | | Autor: | hotblack |
Hallo
> > weiter gehts mit dem Ansatz
> > [mm]x(t) = A*e^{i\omega t}[/mm]
> dieser Ansatz ist ungeschickt.
> man setzt an:
> [mm]x(t)=A*e^{\lambda*t}[/mm]
Ok, was genau meinst du mit ungeschickt, stand halt so im Skript... Gibts da irgendwie ne Regel an die man sich halten kann, oder empfiehlst du immer deinen Ansatz?
> dann hast du :
> [mm]\lambda=-R/2m\pm\sqrt{\frac{R^2}{4m^2} - \frac{k}{m}}=\alpha\pm[/mm]
> i*omega
> jetzt hast du deutlich einen Realteil, und falls
> [mm]\frac{R^2}{4m^2}[/mm] - [mm]\frac{k}{m}<0[/mm] einen Imaginärteil.
> Damit hast du die Lösung
> [mm]x(t)=e^{-R/2m*t}*(A1*e^{i\omega*t}+A2*e^{-i\omega*t}[/mm]
> x(0)=A1+A2
> ich denke, du kannst [mm]x(0)=A_0,[/mm] x'(0)=0 setzen und ann hast
> du einfach [mm]x(t)=A_0*e^{-R/2m*t}*cos(\omega*t)[/mm]
Hmm, ich hab mal nachgerechnet, wie kommst du darauf? Ich schaff das nur mit der Annahme das [mm] $A_1 [/mm] = [mm] A_2 [/mm] = [mm] \bruch{A_0}{2}$ [/mm] ist.
> und musst nur [mm]A_0*e^{-R/2m*t}=0.75A_0[/mm] setzen.
Du meinst doch sicher
[mm]A_0*e^{-R/2m*t}*cos(\omega*t)=0.75A_0[/mm]
oder? Wenn nein, hab ich das nicht verstanden.
> Der Rest ist komisch, insbesondere dein
> Koeffizientenvergleich.
Hatte ich mir schon gedacht.
Mal ganz abgesehen davon, wie komme ich auf $t$? Bleibt $T$ konstant? Dann könnte ich einfach $T$ ausrechnen und $4T$ einsetzen, um $R$ zu berechnen.
Danke für die Hilfe!
Gruß,
hotblack
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Do 17.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1)t rechnest du aus [mm] \omega [/mm] aus.
2) mein Ansatz ist der übliche, warum man mit [mm] i\omega [/mm] ansetzen soll versteh ich nicht. Steht das exakt so da?
er cos gilt nur für die angegebenen Anfangsbed.
3. nach 4T ist der cos derselbe wie bei 0*T deshalb hab ich ihn weggelassen.
Du brauchst aber natürlich noch t=4T
Gruss leduart
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