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| Aufgabe | Es sei (X,Y) gemeinsam normalverteilt mit Mittelwert [mm] \mu=(\mu_X, \mu_Y) [/mm] und Kovarianzmatrix [mm] \summe=\pmat{ \sigma_X^2 & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & \sigma_Y^2 }.
[/mm]
1. Man berechne die Randverteilung [mm] f_Y(y)=\integral{f(x,y) dx}.
[/mm]
2. Man berechne die Dichte der bedingten Verteilung von X und Y mit Hilfe der Formel [mm] f_X(x|Y=y)=\bruch{f(x,y)}{f_Y(y)}.
[/mm]
3. Welche Funktion g minimiert den quadratischen Abstand [mm] E[(X-g(Y))^2]? [/mm] |
Hallo!
Ich hänge schon ganz am Anfang, nämlich daran, was die Dichte der gemeinsamen Normalverteilung ist.
In der Lösung wurde folgendes verwendet:
[mm] f(x,y)=\bruch{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-p^2}} exp[-\bruch{1}{2(1-p^2)} (\bruch{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-2p \bruch{(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y}+\bruch{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2})]
[/mm]
Ich finde das aber nicht im Skript und wundere mich ein wenig woher das kommt.
Außerdem frage ich mich, was das p ist.
Kann mir da jemand helfen?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Sa 10.01.2015 | | Autor: | luis52 |
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> In der Lösung wurde folgendes verwendet:
> [mm]f(x,y)=\bruch{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-p^2}} exp[-\bruch{1}{2(1-p^2)} (\bruch{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-2p \bruch{(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y}+\bruch{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2})][/mm]
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> Ich finde das aber nicht im Skript und wundere mich ein
> wenig woher das kommt.
Moin, *woher* das kommt ist schwer zu sagen. Nimm es einfach hin und begreife es als gemeinsame Dichte der bivariaten NV.
> Außerdem frage ich mich, was das p ist.
Das $p$ ist ein [mm] $\rho$ [/mm] und ist die Korrelation zwischen $X$ und $Y$, also [mm] $\rho=\sigma_{xy}/\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Mathe-Lily!
> Ich hänge schon ganz am Anfang, nämlich daran, was die Dichte der gemeinsamen Normalverteilung ist.
Ihr habt wahrscheinlich allgemeiner für eine Zufallsvariable [mm] X\in\IR^{p} [/mm] mit Er-
wartungsvektor [mm] \mu [/mm] und Kovarianzmatrix [mm] \Sigma [/mm] die Dichtefunktion aufgeschrieben.
Für [mm] $p=2\$ [/mm] folgt das Gewünschte. (Beachte: [mm] \Sigma [/mm] muss positiv definit sein!)
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 12.01.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank, ihr beiden!
Ihr habt mir sehr geholfen! 
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