gemeinsame Verteilung ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien X,Y unabhängige Zufallsgrößen, X sei [mm] Poissonverteilt(\lambda), [/mm] d.h [mm] P(X=k)=e^{-\lambda}*\frac{\lambda^{k}}{k!} [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 0
Und Y [mm] Poisson(\mu)-verteilt, \lambda [/mm] >0 [mm] \mu [/mm] >0
Berechnen sie:
Die Verteilung von(X+Y) |
Hallo alle zusammen ...
Ich habe keine Ahnung wie ich die Gemeinsame Verteilung von X+Y berechne.
Kann mir jemand dabei helfen?
Außerdem habe ich noch eine Frage, wie kontrolliere ich ob zwei Zufallsvariablen Y,X unabhängig sind wenn ich die Dichtefunktion der gemeinsamen Verteilung habe.
danke im vorraus
Gruß
Barney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
das Stichwort heißt Faltung. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Meinst du bei deiner zweiten frage diskrete oder stetige ZV's?
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Von Faltung spricht man ja eigentlich nur, wenn es sich um absolut steige ZV X und Y handelt, was hier nicht der Fall ist, denn X und Y sind Poissonverteilt, also insbesondere diskrete ZV.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
Also in meinen Büchern und Skripten ist das nicht so. Da wird sehrwohl auch im diskreten fall von faltung gesprochen.
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay in dem Fall ist das wohl doch wieder etwas, das von Autor zu Autor verschieden gehandhabt wird. Ich kannte die Faltung nur für den stetigen Fall.
Also nichts für ungut  .
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So ich habe mir dann mal folgendes ausgedacht...
Es gilt
P(X+Y=k)=P(X=l [mm] \cap [/mm] Y=k-l) aus der unabhängigkeit folgt dann
P(X=l [mm] \cap [/mm] Y=k-l) = P(X=l)*P(Y=k-l)= [mm] e^{-\lambda}\cdot{}\frac{\lambda^{l}}{l!}* e^{-\mu}\cdot{}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!}= e^{-\lambda -\mu}\cdot{}\frac{\lambda^{k} \mu^{k-l}}{l!*(k-l)!} [/mm]
Ich glaub das sollte richtig sein ....
Eine kurze Rückantwort wäre nett.
Gruß
Barney
So ich hab mein fehler gefunden
P(X=l $ [mm] \cap [/mm] $ Y=k-l) = [mm] P(X=l)*P(Y=k-l)=\summe_{l=1}^{k} e^{-\lambda}\cdot{}\frac{\lambda^{l}}{l!}\cdot{} e^{-\mu}\cdot{}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!}= \frac{\mu \lambda}{n!}e^{-\mu -\lambda}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 15.07.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]P(X=l \cap Y=k-l) = P(X=l)*P(Y=k-l)=\summe_{l=1}^{k} e^{-\lambda}\cdot{}\frac{\lambda^{l}}{l!}\cdot{} e^{-\mu}\cdot{}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!}= [/mm]
bis dahin stimmts! Und dann gehts so weiter:
[mm]=\frac{1}{k!}e^{-(\mu+\lambda)}\summe_{l=0}^{k}\vektor{k \\ l} \lambda^l\mu^{k-l}=\frac{(\lambda+\mu)^k}{k!}e^{-(\mu+\lambda)} [/mm]
also wieder eine Poissonverteilung mit Parameter [mm] $\mu+\lambda$
[/mm]
gruß
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