gerade oder ungerade Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 So 22.06.2008 | | Autor: | matheman |
| Aufgabe | | Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist, dann ist die Zahl selbst gerade. |
Wie beweist man das elementar? Ich habe so angefangen:
Sei z eine natürliche Zahl. Dann heißt die zu beweisende Aussagen:
[mm] z^2 [/mm] gerade => z gerade
Wenn [mm] z^2 [/mm] gerade gibt es ein k aus N, so dass [mm] z^2 [/mm] = 2k ...
Wurzelziehen: z = sqrt(2) * sqrt(k) ...
Jetzt weiss ich zwar (aus konkreten Beispielen ersichtlich), dass auch sqrt(k) eine gerade Zahl sein muss, aber wie kann ich dass allgemein zeigen ? Jetzt komme ich nicht weiter ...
Kann jemand helfen?
Gruß
matheman
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Hallo,
statt
z² gerade ==> z gerade
kannst Du die äquivalente Aussage zeigen:
z nicht gerade ==> z² nicht gerade.
Beweis: sei z nicht gerade.
Dann ist z ungerade ==> ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 22.06.2008 | | Autor: | matheman |
Hm... Es leuchtet mir nicht ganz ein, warum deine Aussage äquivalent zu meiner sein soll. Ich will doch gerade in die andere Richtung etwas zeigen. Kannst du nicht einfach sagen, wie ich meine Aussage weiterbeweise?
Gruß
Matheman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 So 22.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matheman!
Es gibt doch nur die beiden Fälle "gerade" bzw. "ungerade".
Wenn Du zeigst, dass jede ungerade Zahl quadriert immer wiederum eine ungerade Quadratzahl ergibt, folgt daraus auch: [mm] $z^2 [/mm] \ [mm] \text{ungerade} [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ z \ [mm] \text{ungerade}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 22.06.2008 | | Autor: | matheman |
Ok. Aber könnte trotzdem jemand bei meinem Ansatz weiterrechen? Oder wird das zu kompliziert?
Gruß
Matheman
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> Ok. Aber könnte trotzdem jemand bei meinem Ansatz
> weiterrechen? Oder wird das zu kompliziert?
Hallo,
sei z² gerade.
Angenommen, es wäre z ungerade ==> z² ungerade.
Also muß z gerade sein.
Na gut, Du möchtest gerne Deine Wurzel verwenden:
z²=2k
==> [mm] z=\wurzel{2k}
[/mm]
Angenommen, [mm] \wurzel{2k}\in \IN [/mm] wäre ungerade ==> 2k= [mm] (\wurzel{2k})² [/mm] wäre ungerade , was ein Widerspruch ist.
Also ist [mm] z=\wurzel{2k} [/mm] gerade.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 22.06.2008 | | Autor: | matheman |
Irgendwie krieg ich's nicht gebacken:
$ [mm] \wurzel{2k}\in \IN [/mm] $ ungerade ==> 2k= $ [mm] (\wurzel{2k})² [/mm] $ ungerade
Warum folgt das? Das muss doch auch gezeigt werden, oder?
Matheman
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> [mm]\wurzel{2k}\in \IN[/mm] ungerade ==> 2k= [mm](\wurzel{2k})²[/mm]
> ungerade
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> Warum folgt das? Das muss doch auch gezeigt werden, oder?
Hallo,
naja, wenn man das nicht weiß, dann muß man es natürlich zeigen:
Sei [mm] \wurzel{2k} [/mm] ungerade, also [mm] \wurzel{2k}=2n+1.
[/mm]
Nun quadrierst Du das und weist nach, daß das Quadrat ungerade ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 So 22.06.2008 | | Autor: | matheman |
... dann hab' ich's jetzt, glaube ich:
zu zeigen: [mm] z^{2} [/mm] gerade [mm] \Rightarrow [/mm] z gerade
Beweis:
[mm] z^{2} [/mm] gerade [mm] \Rightarrow z^{2}=2k \Rightarrow z=\wurzel[]{2k}
[/mm]
Annahme: [mm] \wurzel[]{2k} [/mm] ungerade [mm] \Rightarrow 2n+1=\wurzel[]{2k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (2n+1)^2=(\wurzel[]{2k})^2 \Rightarrow
[/mm]
[mm] 4n^2+2n+1=(\wurzel[]{2k})^2 \Rightarrow
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2(2n^2+n)+1=(\wurzel[]{2k})^2=2k, [/mm] d.h Widerspruch, da links eine ungerade Zahl und rechts eine gerade Zahl steht.
Also muss [mm] \wurzel[]{2k} [/mm] gerade sein.
Das sollte so ok sein, oder?
Gruß und schon mal vielen Dank
MatheMan
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> Hallo matheman!
>
>
> Es gibt doch nur die beiden Fälle "gerade" bzw.
> "ungerade".
>
>
> Wenn Du zeigst, dass jede ungerade Zahl quadriert immer
> wiederum eine ungerade Quadratzahl ergibt, folgt daraus
> auch: [mm]z^2 \ \text{ungerade} \ \Rightarrow \ z \ \text{ungerade}[/mm]
> .
> Gruß
> Loddar
>
Sorry Loddar, ich denke, dass du mit diesem Argument die
eigentliche Logik eines Beweises durch Kontraposition
irgendwie verfehlst.
Es geht ja nicht darum, zu zeigen, dass
[mm]z^2 \ \text{ungerade} \ \Rightarrow \ z \ \text{ungerade}[/mm]
sondern:
[mm]z^2 \ \text{gerade} \ \Rightarrow \ z \ \text{gerade}[/mm]
LG al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 22.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist, dann
> ist die Zahl selbst gerade.
> Wie beweist man das elementar? Ich habe so angefangen:
>
> Sei z eine natürliche Zahl. Dann heißt die zu beweisende
> Aussagen:
>
> [mm]z^2[/mm] gerade => z gerade
>
> Wenn [mm]z^2[/mm] gerade gibt es ein k aus N, so dass [mm]z^2[/mm] = 2k ...
>
> Wurzelziehen: z = sqrt(2) * sqrt(k) ...
>
> Jetzt weiss ich zwar (aus konkreten Beispielen
> ersichtlich), dass auch sqrt(k) eine gerade Zahl sein muss,
> aber wie kann ich dass allgemein zeigen ? Jetzt komme ich
> nicht weiter ...
>
> Kann jemand helfen?
Hallo, es ist auch möglich, über die Primfaktoren zu argumentieren.
Wenn [mm] z^2 [/mm] gerade ist, enthält es den Primfaktor 2.
Da in Quadratzahlen alle Primfaktoren in gerader Anzahl vorhanden sein müssen (wäre eventuell noch zu beweisen) , ist der Primfaktor 2 nicht nur einmal, sondern mindestens zweimal (auf alle Fälle in gerader Anzahl) enthalten. z enthält den Primfaktor 2 dann ebenfalls.
Gruß Abakus
>
> Gruß
>
> matheman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 22.06.2008 | | Autor: | matheman |
Ja, das ist einsichtig, wenn man "... da in Quadratzahlen alle Primfaktoren in gerader Anzahl vorhanden sein müssen ... " voraussetzt. Kannst du das auf die Schnelle beweisen?
Vielleicht kannst du auch nochmal meine Zusammenfassung (Mitteilung) ansehen, ob das so i.O. ist.
Gruß
Matheman
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Das ist ganz einfach: Sei z = [mm] p_{1}*p_{2}*...*p_{n} [/mm] die Primfaktorzerlegung von z, dann ist z*z = [mm] p_{1}*p_{2}*...*p_{n}*p_{1}*p_{2}*...*p_{n} [/mm] oder anders angeordnet [mm] z^{2} [/mm] = [mm] p_{1}*p_{1}*p_{2}*p_{2}*...*p_{n}*p_{n}.
[/mm]
Ich würd allerdings so argumentieren: Wenn [mm] z^{2} [/mm] gerade ist, muss [mm] z^{2} [/mm] den Faktor 2 enthalten. Und wie kommt der da rein? Man sieht, dass [mm] z^{2} [/mm] nur Primfaktoren enthält, die auch in z enthalten sind. Also muss die 2 als Primfaktor in z enthalten sein und daher muss z gerade sein.
Eine ganz andere Möglichkeit wäre diese: Du zeigst durch Induktion, dass [mm] z^{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{z}(2i [/mm] - 1). Und daher müssen Quadratzahlen immer abwechselnd gerade und ungerade sein. Und jetz schaust du dir einfach mal die erste Quadratzahl an, das ist für z=1 (ungerade) [mm] z^{2} [/mm] = 1 (auch ungerade).
Fertig
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