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| Aufgabe | Eine Funktion [mm] \IR\to\IR [/mm] heißt gerade, falls g(x)=g(-x) und g ungerade, falls g(-x)=-g(x) gilt für alle x element [mm] \IR.
[/mm]
Zeigen Sie: Ist g gerade (ungerade) und differenzierbar, so ist g' eine ungerade (gerade) Funktion. |
Hallo!
Zunächst einmal habe ich noch nicht ganz verstanden, was differenzierbar bedeutet. Verstanden habe ich, dass die Funktion dann abgeleitet werden kann. Aber kann man das nicht bei allen Funktionen?
Zum anderen bin ich mit den Beweisen am kämpfen, da ich auch hier keinen Ansatz finden kann. Daher wäre ich für eine kleine Hilfestellung sehr dankbar.
Wiebke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Di 17.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Eine Funktion [mm]\IR\to\IR[/mm] heißt gerade, falls g(x)=g(-x) und
> g ungerade, falls g(-x)=-g(x) gilt für alle x element [mm]\IR.[/mm]
> Zeigen Sie: Ist g gerade (ungerade) und differenzierbar,
> so ist g' eine ungerade (gerade) Funktion.
> Hallo!
> Zunächst einmal habe ich noch nicht ganz verstanden, was
> differenzierbar bedeutet. Verstanden habe ich, dass die
> Funktion dann abgeleitet werden kann. Aber kann man das
> nicht bei allen Funktionen?
> Zum anderen bin ich mit den Beweisen am kämpfen, da ich
> auch hier keinen Ansatz finden kann. Daher wäre ich für
> eine kleine Hilfestellung sehr dankbar.
>
> Wiebke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo, es kann ja sein, dass eine Funktion nicht an jeder Stelle eine Ableitung besitzt (Unstetigkeitsstellen, Knickstellen wie z.B. bei y=|x|...)
Zum Beweis:
Die erste Ableitung an einer Stelle ist ja definiert als Übergang vom Differenzenquotienten zum Differenzialkoeffizienen. Der Grenzwert wird meist so formuliert:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}.
[/mm]
Folgende Formulierung ist völlig gleichwertig:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(x-h)}{h}
[/mm]
In deinem Beweis solltest du für die Ableitung an der Stelle x die erste und für die Ableitung an der Stelle -x die zweite Art der Formulierung verwenden (und bei letzterem an Stelle von x natürlich auch -x einsetzen).
Gruß Abakus
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Ok, super, vielen Dank. Werd das gleich mal versuchen. Nochmal Danke für die schnelle Antwort!!!
LG, Wiebke
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