ggT und kgV < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:43 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen.
Erst mal dank für dein Lob stefan. Hat mich gefreut. 
Also ich habe da zwei Aufgaben bei denen ich auf dem Schlauch stehe. Ich weiß einfach nicht wie ich da anfangen soll. Vielleicht könntet ihr mir ja einen Tipp geben. Wahrscheinlich ist es nicht so schwer aber ich finde igendwie nicht den Lösungsweg.
Also sie lauten
a) Ist [mm](R,\delta)[/mm] ein euklidischer Ring und [mm] 0 \ne d \in ggT(a,b)[/mm], so ist [mm] v:= {ab \br d} \in kgV(a,b)[/mm]
Hier zu habe ich folgende überlegungen:
a und b werden auf jedem Fall durch d geteilt, da dieser der ggT der Zahlen ist. teile ich diese folglich bleiben nur die Teiler übrig die sie nicht gemeinsam haben. Multipliziere ich diese so habe ich ja das kgV der beiden Zahlen. Ich weiß aber nicht wie ich es mathematisch zeigen kann.
b) Es seien nun R euklidisch. Zeigen sie: Ist [mm] (a_1,...,a_n) \ne (0,...,0)[/mm], dann existiert [mm] r_1,...r_n \in R [/mm] so, dass [mm]d=a_1r_1+ .... + a_nr_n[/mm] ein ggT von [mm] a_1,...,a_n [/mm] ist.
Hier habe ich schon rumrobiert habe aber noch keinen brauchbaren ansatz.
Vielen Dank schon im vorraus
Jessica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Di 04.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> a) Ist [mm](R,\delta)[/mm] ein euklidischer Ring und [mm]0 \ne d \in ggT(a,b)[/mm], so ist [mm]v:= {ab \br d} \in kgV(a,b)[/mm]
>
> Hier zu habe ich folgende überlegungen:
> a und b werden auf jedem Fall durch d geteilt, da dieser der ggT der Zahlen ist. teile ich diese folglich bleiben nur die Teiler übrig die sie nicht gemeinsam haben. Multipliziere ich diese so habe ich ja das kgV der beiden Zahlen. Ich weiß aber nicht wie ich es mathematisch zeigen kann.
Der Beweis hängt natürlich auch davon ab, wie ihr kgV und ggT definiert habt.
Bildet man z.B. für $a$ und $b$ die Primfaktorzerlegungen
[mm] $a=\produkt_{p\in P} p^{\alpha_p}$
[/mm]
und
[mm] $b=\produkt_{p\in P} p^{\beta_p}$
[/mm]
[mm] ($\alpha_p$ [/mm] und [mm] $\beta_p$ [/mm] sind die so genannten Vielfachheiten der Primzahlen in der Zerlegung, $P$ die Menge aller Primzahlen)
dann ist
[mm] $\operatorname{ggT}(a,b)=\produkt_{p\in P} p^{\min(\alpha_p,\beta_p)}$
[/mm]
und
[mm] $\operatorname{kgV}(a,b)=\produkt_{p\in P} p^{\max(\alpha_p,\beta_p)}$
[/mm]
Damit ist nun ganz einfach gezeigt, dass
[mm] $\operatorname{kgV}(a,b)*\operatorname{ggT}(a,b)=a*b$
[/mm]
gilt.
Ein elementarer Beweis ist mir nicht eingefallen, vielleicht einem anderen?
> b) Es seien nun R euklidisch. Zeigen sie: Ist [mm](a_1,...,a_n) \ne (0,...,0)[/mm], dann existiert [mm]r_1,...r_n \in R [/mm] so, dass [mm]d=a_1r_1+ .... + a_nr_n[/mm] ein ggT von [mm] a_1,...,a_n [/mm] ist.
>
> Hier habe ich schon rumrobiert habe aber noch keinen brauchbaren ansatz.
Das dürfte doch eine Verallgemeinerung des Lemma von Bezout sein:
Lemma von Bezout
Sind $a$ und $b$ positive natürliche Zahlen, so gibt es ganze Zahlen $s$ und $t$ mit [mm] $\operatorname{ggT}(a,b)=sa+tb$.
[/mm]
Zusammen mit der Definition des ggT mehrerer Zahlen [mm] $\operatorname{ggT}(a_1,\ldots,a_{n-1},a_n)=\operatorname{ggT}(\operatorname{ggT}(a_1,\ldots,a_{n-1}),a_n)$ [/mm] dürfte die Behauptung per Induktion folgen.
Tut mir leid, dass ich diesmal nicht konkreter (in a)) weiterhelfen konnte, aber mich würde der Beweis auch interessieren; vielleicht kannst du ihn ja noch nachliefern oder jemand anders hier im MatheRaum kann ihn führen?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Di 04.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Marc,
trotzdem Danke für deine Bemühungen! zu b hatte ich heute auch, den selben Einfall, nur bei uns heißt das nicht Lemma von Bezot, sondern Erwiterter Euklidischer Algorithmus. ICh werde das jetzt mal mit der Induktion versuchen und den Beweis hier noch posten. bis gleich
Jessica
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 04.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Marc.
Also ich habe das mal mit Induktion bewiesen. Jedoch bin ich mir beim Induktionsschritt nicht sicher wie und ob es richtig ist wie ich es aufgeschrieben habe. also hier ist der Beweis:
Behauptung: Für [mm] (a_1,...,a_n) \ne (0,...,0)[/mm], existierten [mm] r_1,...,r_n \in R[/mm], so dass [mm] d=r_1a_1+ ...+r_na_n \in ggT(a_1,...,a_n)[/mm] (für n>1).
Bewies per voll. Ind.:
(IA) Sei n=2,dann gilt:
Laut erweiterten algorithmus existieren für zwei Zahlen [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2[/mm] [mm] r_1,r_2 \in R [/mm], so dass [mm] d=r_1a_1+r_2a_2 \in ggT(a_1,a_2) [/mm]
Somit gelte die Beh. für n=2.
(IV) Die Beh. gelte für ein n-1.
(IS) Sei [mm] d \in ggT(a_1,...,a_2) =ggT(ggT(a_1,...,a_{n-1}),a_n)[/mm]
Somit wäre dann [mm] d=r_1a_1+...+r_{n-1}a_{n-1}+r_na_n[/mm].
[mm] r_1a_1+...+r_{n-1}a_{n-1} [/mm] wegen (IV).
Somit gilt die Behauptung für n>1.
(Also ich weiß nicht ,so ganz gefällt mir die entscheidende Begründung nicht so. Hättest du vielleicht einen Vorschlag wie es besser wäre oder genügt es doch?)
Bis dann Jessica.
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Also mir ist da noch eine Idee gekommen marc:
Also dein Hinweis zu a) hat mir vielleicht geholfen:
Jedes Element a aus R läßt sich ja als Produkt irreduziblen Elemtnen dargestellt werden. Somit könnte man dann a und k wie folgt darstellen bzw. definieren
[mm] a=\produkt_{p\in P} p^{\alpha_p} [/mm] und [mm] b=\produkt_{p\in P} p^{\beta_p} [/mm] mit [mm]\alpha_p[/mm] und [mm]\beta_p[/mm] sind dann die Vielfachheiten der irreduziblen Elemente in der Zerlegung und P die Menge aller irreduziblen Elemente (also könnte man doch für P auch R* schreiben, oder?)
Somit würde dann gelten
[mm]d=\produkt_{p\in P} p^{\min(\alpha_p,\beta_p)} \in \operatorname{ggT}(a,b)[/mm] und
[mm]v=\produkt_{p\in P} p^{\max(\alpha_p,\beta_p)} \in \operatorname{kgV}(a,b)[/mm]
Somit wäre dann
[mm]a*b=\produkt_{p\in P} p^{\min(\alpha_p,\beta_p)} * \produkt_{p\in P} p^{\max(\alpha_p,\beta_p)} = d*v[/mm]
[mm]\gdw a*b=d*v[/mm]
Formt man die Gleichung um, so erhält man:
[mm]v=(a*b)/d[/mm]
Somit wäre das doch bewiesen oder?
Liebe Grüße
Jessica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica!
Nur ganz kurz:
Der Beweis zu a) sieht gut aus, jedenfalls von der Idee her.
Mir fehlt da noch ein bisschen mehr "Begründung" warum, a*b=d*v ist (das liegt an den Vielfachheiten, da entweder
[mm] ($\alpha_p=\min(\alpha_p,\beta_p)$ [/mm] und [mm] $\beta_p=\max(\alpha_p,\beta_p)$)
[/mm]
oder
[mm] ($\alpha_p=\max(\alpha_p,\beta_p)$ [/mm] und [mm] $\beta_p=\min(\alpha_p,\beta_p)$)
[/mm]
ad b)
Hier würde ich den Induktionsschritt so machen:
Beh. gelte für $n-1$
[mm] $\Rightarrow \exists r_1,\ldots,r_{n-1}$ [/mm] so dass [mm] $\ggT(a_1,\ldots,a_{n-1})=r_1*a_1+\ldots+r_{n-1}*a_{n-1}$
[/mm]
Nun ist
[mm] $\ggT(a_1,\ldots,a_n)=\ggT(\ggT(a_1,\ldots,a_{n-1}),a_n)$, [/mm] d.h. es existiert $x,y$ so dass
[mm] $\ggT(\ggT(a_1,\ldots,a_{n-1}),a_n)=x*\ggT(a_1,\ldots,a_{n-1})+y*a_n$
[/mm]
Nun ersetzt du die IV:
[mm] $\ggT(\ggT(a_1,\ldots,\a_{n-1}),a_n)=x*(r_1*a_1+\ldots+r_{n-1}*a_{n-1})+y*a_n$
[/mm]
und multiplizierst die Klammer aus.
Gezeigt ist damit, dass [mm] $s_1,\ldots,s_n$ [/mm] existieren mit [mm] $\ggT(a_1,\ldots,a_{n})=s_1*a_1+\ldots+s_{n}*a_{n}$
[/mm]
[mm] $s_1:=x*r_1$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $s_{n-1}:=x*r_{n-1}$
[/mm]
[mm] $s_n:=y$
[/mm]
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica!
> Also dein Hinweis zu a) hat mir vielleicht geholfen:
>
> Jedes Element a aus R läßt sich ja als Produkt irreduziblen Elemtnen dargestellt werden. Somit könnte man dann a und k wie folgt darstellen bzw. definieren
>
> [mm]a=\produkt_{p\in P} p^{\alpha_p}[/mm] und [mm]b=\produkt_{p\in P} p^{\beta_p}[/mm] mit [mm]\alpha_p[/mm] und [mm]\beta_p[/mm] sind dann die Vielfachheiten der irreduziblen Elemente in der Zerlegung und P die Menge aller irreduziblen Elemente (also könnte man doch für P auch R* schreiben, oder?)
>
> Somit würde dann gelten
>
> [mm]d=\produkt_{p\in P} p^{\min(\alpha_p,\beta_p)} \in \operatorname{ggT}(a,b)[/mm] und
> [mm]v=\produkt_{p\in P} p^{\max(\alpha_p,\beta_p)} \in \operatorname{kgV}(a,b)[/mm]
Habt Ihr das auch so in der Vorlesung gehabt? Falls nicht, müßtest du die Äquivalenz zu Eurer Definition von [mm] $\kgV$ [/mm] und [mm] $\ggT$ [/mm] natürlich noch zeigen.
> Somit wäre dann
>
> [mm]a*b=\produkt_{p\in P} p^{\min(\alpha_p,\beta_p)} * \produkt_{p\in P} p^{\max(\alpha_p,\beta_p)} = d*v[/mm]
Das ist die Stelle, die du vielleicht noch näher begründen solltest, also warum genau das gilt:
[mm]a*b=\produkt_{p\in P} p^{\min(\alpha_p,\beta_p)} * \produkt_{p\in P} p^{\max(\alpha_p,\beta_p)}[/mm]
> [mm]\gdw a*b=d*v[/mm]
>
> Formt man die Gleichung um, so erhält man:
>
> [mm]v=(a*b)/d[/mm]
>
> Somit wäre das doch bewiesen oder?
Ja, das würde ich sagen, wenn die "Lücken" oben ausgefüllt sind.
Viele Grüße,
Marc
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