gleiches char. Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien A, B [mm] \in R^{nxn} [/mm] zwei invertierbare Matrizen, Zeigen Sie, dass BA und AB das selbe charakteristische Polynom haben. |
Also ich hab ne weile dran gesessen, aber bis jetzt nur ne Lösungs idee, die Matrix "AB" muss doch ähnlich zu "BA" sein oder? wenn das der fall wäre, wüsste ich wie ich die Aufgabe lösen soll, aber wie zeig ich dass AB und BA ähnlich zueinander sind, oder bin ich auf dem falschen weg?
Matrix AB hat ja irgendwie die form: AB:= ( [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} )_{i,j= 1,..,n} [/mm] und BA die form: ( [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{kj}b_{ik} )_{i,j= 1,..,n}
[/mm]
und das erinnert mich verdammt an eine transponierte matrix, ist AB etwa transponiert BA? weil dann wäre es ja schon einfacher da die determinante von eienr Matrix und dem transponierten ja gleich wäre?
Mag vllt jemand meine gedanken in die richtige Richtung lenken 
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Ich glaub du überlegst in die falsche Richtung. Ein normiertes Polynom ist doch eindeutig durch seine Nullstellen bestimmt. Zeig doch erstmal, dass AB und BA die gleichen Eigenwerte besitzen!
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Ja aber wenn ich zeigen will dass sie die gleichen eigenwerte haben, mach ich das doch genau über die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms, aslo wie soll ich zeigen dass AB und BA die gleichen EW haben ohne das zu beweisende zu zeigen, dass sie das gleiche c. Polynom haben?
es gilt doch:
[mm] (AB-\lambda [/mm] E) x = 0
und dann soll auch gelten: (BA [mm] -\lambda [/mm] E) x= 0
das sieht für mich aus wie das c. Polynom.
ich wüsst nicht wie ich das zeigen soll, oder gibts dafür noch ne andere gleichung?
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Wenn [mm] \lambda [/mm] ein EW von AB ist, dann gibt es [mm] x\not={}0, [/mm] so dass [mm] ABx=\lambda{}x. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass es [mm] y\not={}0 [/mm] gibt, so dass [mm] BAy=\lambda{}y.
[/mm]
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arg, ich mag diese allgm. aufgaben net, wenn werte da sind, lässt sichs halt leichter lösen... naja aber ich meine ich hab keinerlei werte gegeben, wie soll ichs zeigen? ich mein kann ja sein dass BA auch ein y hat das das erfüllt, aber das resultierende [mm] \lambda [/mm] muss ja nun nicht das gleiche sein wie bei AB, sehe da keinen beweis hinter, und allgm, steht ja i nder aufgabe nicht dass es überhaupt Eigenwerte gibt, kann ja sein dass das Polynom keine reelle lösung gibt?
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> arg, ich mag diese allgm. aufgaben net, wenn werte da sind,
> lässt sichs halt leichter lösen... naja aber ich meine ich
> hab keinerlei werte gegeben, wie soll ichs zeigen? ich mein
> kann ja sein dass BA auch ein y hat das das erfüllt, aber
> das resultierende [mm]\lambda[/mm] muss ja nun nicht das gleiche
> sein wie bei AB, sehe da keinen beweis hinter, und allgm,
> steht ja i nder aufgabe nicht dass es überhaupt Eigenwerte
> gibt, kann ja sein dass das Polynom keine reelle lösung
> gibt?
Na und, dann sind es eben komplexe Eigenwerte. Das ist doch egal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 So 11.06.2006 | | Autor: | Poffelchen |
also ich wüsste halt nicht wie ich hier was zeigen soll, sry steh da wohl doch auf der leitung
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 So 11.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> Seien A, B [mm]\in R^{nxn}[/mm] zwei invertierbare Matrizen, Zeigen
> Sie, dass BA und AB das selbe charakteristische Polynom
> haben.
Ich schreibe mal was hin: [m]B*A*B*B^{-1}[/m], dann beachte [m]det(A*B*C)=det(A)*det(B)*det(C)[/m]. Jetzt Ideen? Btw: ich würde das mit den EW nicht verfolgen, es gibt da eh noch ein weiteres Problem mit: wer sagt, dass das Polynom Nullstellen hat? Wer sagt in welcher Vielfachheit sie auftauchen? Das führt zu gar nichts imvho.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 So 11.06.2006 | | Autor: | baskolii |
> Btw: ich
> würde das mit den EW nicht verfolgen, es gibt da eh noch
> ein weiteres Problem mit: wer sagt, dass das Polynom
> Nullstellen hat?
Der Hauptsatz der Algebra!!!
> Wer sagt in welcher Vielfachheit sie
> auftauchen?
Die brauchst du eh nicht.
> Das führt zu gar nichts imvho.
Doch, es ist ein Weg, die Aufgabe zu lösen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Di 13.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> > Btw: ich
> > würde das mit den EW nicht verfolgen, es gibt da eh noch
> > ein weiteres Problem mit: wer sagt, dass das Polynom
> > Nullstellen hat?
> Der Hauptsatz der Algebra!!!
Was auch immer R ist - wenn man das ganze über einem beliebigen Körper macht, braucht man dann den algebraischen Abschluß. Man muss sich dann auch klar machen, dass das char. Polynom mit Koeffizienten in [m]\IR[/m] auch wieder nur Koeff. in [m]\IR[/m] hat.
> > Wer sagt in welcher Vielfachheit sie
> > auftauchen?
> Die brauchst du eh nicht.
Doch, und wie! [m](X-5)^3*(X-6)^2 \neq (X-5)^2*(X-6)^3[/m]. hier kann man locker zwei Matrizen angeben, die die gleichen Eigenräume haben, aber eben nicht das gleiche char. Polynom.
> > Das führt zu gar nichts imvho.
> Doch, es ist ein Weg, die Aufgabe zu lösen!
Nein, ist es nicht.
SEcki
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wenn ich jetzt von der ganz normalen determinante ausgehen würde:
det (BA) = [mm] det(BABB^{-1}) [/mm] = [mm] det(B)*det(AB)*det(B^{-1})
[/mm]
= det(AB) * [mm] det(BB^{-1})
[/mm]
=det(AB) * det(E)
= det(AB)
so wenn sie das gleiche charakteristische Polynom haben, muss ich die gleichen Umforunungen mit - [mm] \lambda [/mm] mitmachen:
det(BA - [mm] \lambda) [/mm] = [mm] det(BABB^{-1} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm]
= [mm] det(B)*det(AB-\lambda)*det(B^{-1}) [/mm] (Schritt X)
= [mm] det(AB-\lambda) [/mm] * [mm] det(BB^{-1})
[/mm]
[mm] =det(AB-\lambda) [/mm] * det(E)
= [mm] det(AB-\lambda)
[/mm]
Also falls Schritt X so machbar ist(bin m ir da relativ unsicher) wäre das doch so schon gezeigt oder?
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Vergiss die Einheitsmatrix beim [mm] \lambda [/mm] nicht!
Schritt x kannst du so machen, du hast da nur ein paar
Zwischenschritte ausgelassen.
[mm] det(BABB^{-1}-[/mm] [mm]\lambda{}E)[/mm]
= [mm] det(B(ABB^{-1}-\lambda{}B^{-1}))
[/mm]
= [mm] det(B(AB-\lambda{}B^{-1}B)B^{-1})
[/mm]
= [mm] det(B)det(AB-\lambda{}E)det(B^{-1})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Poffelchen |
ah jetzt versteh ich den schrott auch richtig, hatte ihn nur mal in der vorlesung gesehen . danke. vielen dank
und [mm] \lambda [/mm] entspricht [mm] \lambda [/mm] E, das war ne Vereinbarung bei mir im Tutorium dass mans weglassen kann wenn klar ist was gemeint ist
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