gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Do 06.10.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | [mm] f_{n}(x)=\bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}
[/mm]
1) Zu prüfen ist ob [mm] f_{n}(x) [/mm] auf [mm] 0,\infty [/mm] gleichmäßig konvergiert. |
Hallo an alle,
bei dieser Aufgabe gibt es einer kleine Ausnahme, nach der man verfahren muss, und ich weiß nicht ganz genau, wie ich dies anstellen soll.
Punktweise Konvergenz habe ich schon nachgewiesen, indem ich den Grenzwert (=0) berechnet habe.
Dann habe ich ein Maximum berechnet: [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] mit dem ich anhand der Supremumsnorm die gleichmäßige Konvergenz zeigen will:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\parallel f_{n}(\bruch{1}{n})-0 \parallel=\bruch{1}{2}
[/mm]
Um gleichmäßige Konvergenz gezeigt zu haben, müsste eigentlich 0 rauskommen.
Jetzt erinner ich mich dran, dass wir die Grenze auf [mm] a,\infty [/mm] erweitert haben und für a>0 gezeigt haben, dass die Funktion gleichmäßig konvergiert.
Ich selbst bekomme diesen Schritt aber nichtmehr hin. Könnte mir bitte jemand den Anfang zeigen??
Und inwiedern ist das Maximum für das alte Intervall nicht definiert, sodass ich die Grenze erweitern muss??
Ich hoffe meine Fragen sind klar geworden 
Vielen Dank im Voraus, Paula.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f_{n}(x)=\bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}[/mm]
>
> 1) Zu prüfen ist ob [mm]f_{n}(x)[/mm] auf [mm]0,\infty[/mm] gleichmäßig
> konvergiert.
> Hallo an alle,
> bei dieser Aufgabe gibt es einer kleine Ausnahme, nach der
> man verfahren muss, und ich weiß nicht ganz genau, wie ich
> dies anstellen soll.
>
> Punktweise Konvergenz habe ich schon nachgewiesen, indem
> ich den Grenzwert (=0) berechnet habe.
> Dann habe ich ein Maximum berechnet: [mm]\bruch{1}{n},[/mm] mit dem
> ich anhand der Supremumsnorm die gleichmäßige Konvergenz
> zeigen will:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\parallel f_{n}(\bruch{1}{n})-0 \parallel=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Um gleichmäßige Konvergenz gezeigt zu haben, müsste
> eigentlich 0 rauskommen.
>
> Jetzt erinner ich mich dran, dass wir die Grenze auf
> [mm]a,\infty[/mm] erweitert haben und für a>0 gezeigt haben, dass
> die Funktion gleichmäßig konvergiert.
>
> Ich selbst bekomme diesen Schritt aber nichtmehr hin.
> Könnte mir bitte jemand den Anfang zeigen??
Für x [mm] \ge [/mm] a und n [mm] \in \IN [/mm] ist:
[mm] $|f_n(x)| \le \bruch{nx}{n^2x^2}= \bruch{1}{nx} \le \bruch{1}{na}$
[/mm]
FRED
>
> Und inwiedern ist das Maximum für das alte Intervall nicht
> definiert, sodass ich die Grenze erweitern muss??
>
> Ich hoffe meine Fragen sind klar geworden
>
> Vielen Dank im Voraus, Paula.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Do 06.10.2011 | | Autor: | paula_88 |
> > [mm]f_{n}(x)=\bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}[/mm]
> >
> > 1) Zu prüfen ist ob [mm]f_{n}(x)[/mm] auf [mm]0,\infty[/mm] gleichmäßig
> > konvergiert.
> > Hallo an alle,
> > bei dieser Aufgabe gibt es einer kleine Ausnahme, nach
> der
> > man verfahren muss, und ich weiß nicht ganz genau, wie ich
> > dies anstellen soll.
> >
> > Punktweise Konvergenz habe ich schon nachgewiesen, indem
> > ich den Grenzwert (=0) berechnet habe.
> > Dann habe ich ein Maximum berechnet: [mm]\bruch{1}{n},[/mm] mit
> dem
> > ich anhand der Supremumsnorm die gleichmäßige Konvergenz
> > zeigen will:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\parallel f_{n}(\bruch{1}{n})-0 \parallel=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > Um gleichmäßige Konvergenz gezeigt zu haben, müsste
> > eigentlich 0 rauskommen.
> >
> > Jetzt erinner ich mich dran, dass wir die Grenze auf
> > [mm]a,\infty[/mm] erweitert haben und für a>0 gezeigt haben, dass
> > die Funktion gleichmäßig konvergiert.
> >
> > Ich selbst bekomme diesen Schritt aber nichtmehr hin.
> > Könnte mir bitte jemand den Anfang zeigen??
>
>
> Für x [mm]\ge[/mm] a und n [mm]\in \IN[/mm] ist:
>
> [mm]|f_n(x)| \le \bruch{nx}{n^2x^2}= \bruch{1}{nx} \le \bruch{1}{na}[/mm]
Aber inwiefern hilft mir das jetzt?
Ich habe schon viel rumversucht, ich benötige bitte eine Erklärung, wieso man so einfach das Intervall verändern darf und wie man dann mit a weiter ansetzt.
Der gegebene Ansatz ist mir irgendwie zu klein
>
> FRED
> >
> > Und inwiedern ist das Maximum für das alte Intervall nicht
> > definiert, sodass ich die Grenze erweitern muss??
> >
> > Ich hoffe meine Fragen sind klar geworden
> >
> > Vielen Dank im Voraus, Paula.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]f_{n}(x)=\bruch{nx}{1+n^{2}x^{2}}[/mm]
> > >
> > > 1) Zu prüfen ist ob [mm]f_{n}(x)[/mm] auf [mm]0,\infty[/mm] gleichmäßig
> > > konvergiert.
> > > Hallo an alle,
> > > bei dieser Aufgabe gibt es einer kleine Ausnahme,
> nach
> > der
> > > man verfahren muss, und ich weiß nicht ganz genau, wie ich
> > > dies anstellen soll.
> > >
> > > Punktweise Konvergenz habe ich schon nachgewiesen, indem
> > > ich den Grenzwert (=0) berechnet habe.
> > > Dann habe ich ein Maximum berechnet: [mm]\bruch{1}{n},[/mm]
> mit
> > dem
> > > ich anhand der Supremumsnorm die gleichmäßige Konvergenz
> > > zeigen will:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\parallel f_{n}(\bruch{1}{n})-0 \parallel=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Um gleichmäßige Konvergenz gezeigt zu haben, müsste
> > > eigentlich 0 rauskommen.
> > >
> > > Jetzt erinner ich mich dran, dass wir die Grenze auf
> > > [mm]a,\infty[/mm] erweitert haben und für a>0 gezeigt haben, dass
> > > die Funktion gleichmäßig konvergiert.
> > >
> > > Ich selbst bekomme diesen Schritt aber nichtmehr hin.
> > > Könnte mir bitte jemand den Anfang zeigen??
> >
> >
> > Für x [mm]\ge[/mm] a und n [mm]\in \IN[/mm] ist:
> >
> > [mm]|f_n(x)| \le \bruch{nx}{n^2x^2}= \bruch{1}{nx} \le \bruch{1}{na}[/mm]
>
> Aber inwiefern hilft mir das jetzt?
Dann danke ich mir zunächst selbst für meine formidable Antwort.....
Dennoch: geben wir ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor, so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \bruch{1}{na}< \varepsilon [/mm] für alle n> N.
Dann ist
[mm] $|f_n(x)-0| \le \varepsilon$ [/mm] für alle n > N und alle x [mm] \in [/mm] [a, [mm] \infty).
[/mm]
Das bedeutet: die Folge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [a, [mm] \infty) [/mm] gleichmäßig.
> Ich habe schon viel rumversucht, ich benötige bitte eine
> Erklärung, wieso man so einfach das Intervall verändern
> darf und wie man dann mit a weiter ansetzt.
Da wurde nichts verändert !
Sinn und Zweck der ganzen Geschichte ist:
1. die Folge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0, [mm] \infty) [/mm] nicht gleichmäßig.
2. die Folge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf jedem Intervall [a, [mm] \infty) [/mm] mit a>0 gleichmäßig.
> Der gegebene Ansatz ist mir irgendwie zu klein
Ich bitte vielmals um Entschuldigung.
FRED
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> > FRED
> > >
> > > Und inwiedern ist das Maximum für das alte Intervall nicht
> > > definiert, sodass ich die Grenze erweitern muss??
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> > > Ich hoffe meine Fragen sind klar geworden
> > >
> > > Vielen Dank im Voraus, Paula.
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