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| Aufgabe | | Sei [mm] f:(0,\infty)\to\IR [/mm] eine differenzierbare Funktion. Es gebe ein C>0, sodass [mm] \vert f’(x)\vert\le [/mm] C für alle [mm] x\in(0,\infty). [/mm] Beweisen Sie, dass dann f in [mm] (0,\infty) [/mm] gleichmäßig stetig ist. |
Hallo zusammen,
die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit ist ja:
[mm] \forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x,x_0\in D_f:\vert x-x_0\vert<\delta:\vert f(x)-f(x_0)<\varepsilon
[/mm]
ich weiß f ist differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig.
Also kann ich dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden und erhalte:
[mm] f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)
[/mm]
Dabei weiß ich, dass [mm] \vert f’(\xi)\vert \le [/mm] C [mm] \forall \xi\in(0,\infty) [/mm] ist, also gilt die Abschätzung:
[mm] f(b)-f(a)\le [/mm] (b-a)C
jetzt muss ich doch daraus iwie zeigen können, dass ich für jedes [mm] \varepsilon, [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finde, sodass obige Bedingung erfüllt ist für die gleichmäßige Stetigkeit.
Kann ich jetzt einfach sagen:
Se [mm] (b-a)C\le \varepsilon [/mm] (Darf ich das einfach machen??)
Dann erhalte ich ein [mm] \delta=\frac{\varepsilon}{C}, [/mm] für das die gesuchte Beziehung durch obige Abschätzung gelten müsste.
Wie weit liege ich hiermit richtig?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mi 25.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:(0,\infty)\to\IR[/mm] eine differenzierbare Funktion. Es
> gebe ein C>0, sodass [mm]\vert f’(x)\vert\le[/mm] C für alle
> [mm]x\in(0,\infty).[/mm] Beweisen Sie, dass dann f in [mm](0,\infty)[/mm]
> gleichmäßig stetig ist.
> Hallo zusammen,
>
> die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit ist ja:
>
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x,x_0\in D_f:\vert x-x_0\vert<\delta:\vert f(x)-f(x_0)<\varepsilon[/mm]
>
> ich weiß f ist differenzierbar [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig.
> Also kann ich dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
> anwenden und erhalte:
>
> [mm]f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)[/mm]
>
> Dabei weiß ich, dass [mm]\vert f’(\xi)\vert \le[/mm] C [mm]\forall \xi\in(0,\infty)[/mm]
> ist, also gilt die Abschätzung:
>
> [mm]f(b)-f(a)\le[/mm] (b-a)C
Nein ! Es folgt:
[mm]|f(b)-f(a)|\le[/mm]C |b-a| für alle a,b>0
Jetzt mach weiter wie unten.
FRED
>
> jetzt muss ich doch daraus iwie zeigen können, dass ich
> für jedes [mm]\varepsilon,[/mm] ein [mm]\delta[/mm] finde, sodass obige
> Bedingung erfüllt ist für die gleichmäßige Stetigkeit.
>
> Kann ich jetzt einfach sagen:
> Se [mm](b-a)C\le \varepsilon[/mm] (Darf ich das einfach machen??)
>
> Dann erhalte ich ein [mm]\delta=\frac{\varepsilon}{C},[/mm] für das
> die gesuchte Beziehung durch obige Abschätzung gelten
> müsste.
>
> Wie weit liege ich hiermit richtig?
>
> Grüße
>
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Danke, natürlich in Beträgen.
Darf ich denn einfach sagen, dass [mm] \vert b-a\vert C<\varepsilon??
[/mm]
Gruß
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Moin Theoretix,
> Danke, natürlich in Beträgen.
>
> Darf ich denn einfach sagen, dass [mm]\vert b-a\vert C<\varepsilon??[/mm]
Das kannst du, wenn du [mm] \delta:=\frac{\varepsilon}{C} [/mm] zu vorgebenem [mm] \varepsilon [/mm] setzt (hast du ja bereits getan).
Dann gilt für [mm] |a-b|<\delta [/mm] wie gewünscht [mm] |f(a)-f(b)|\leq C|a-b|
>
>
> Gruß
LG
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