gleichmäßige konvergenz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für [mm] n\in\IN [/mm] sei [mm] f_{n}:[0,\infty)\to\IR [/mm] gegeben durch [mm] f_{n}(x):=\bruch{x}{n^{2}}*{e^{-\bruch{x}{n}}}, x\ge0.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] gleichmäßig auf [mm] [0,\infty) [/mm] gegen die Nullfunktion konvergiert, aber
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}{f_{n}(x) dx}=1.
[/mm]
Warum widerspricht dies nicht der Aussage von Satz 1.4:
I=[a,b], [mm] f_{n}:I\to\IR [/mm] seien Riemann-integrierbar.
[mm] f_{n}\to [/mm] f auf I (gleichmäßig)
|
gleichmäßige Konvergenz beschreibt sich ja wie folgt:
$ [mm] (f_n )_n$ [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen $ f: X [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] , wenn es zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0$ ein (von $ x$ unabhängiges) $ n [mm] (\varepsilon) \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt mit $ [mm] \vert [/mm] f (x) - [mm] f_n [/mm] (x) [mm] \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $ n [mm] \geq [/mm] n [mm] (\varepsilon)$ [/mm] und alle $ x$ .
kann mir jemand erläutern was es genau damit auf sich hat und wie es das beste wäre diese aufgabe anzugehen???:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}{f_{n}(x) dx}=1.
[/mm]
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> kann mir jemand erläutern was es genau damit auf sich hat
Glm. konvergent bedeutet in etwa, dass es keine Stellen gibt die deutlich langsamer konvergieren. "Man kann die Funktion auf ganzer Breite mit einem Brett gegen den Grenzwert drücken."
> wie es das beste wäre diese aufgabe anzugehen???
Skizziere mal diese Funktion.
Wie sieht sie bei 0 aus ?
Wie für [mm] x\to\infty [/mm] ?
Und dazwischen ?
Wo ist sie damit am weitesten von Grenzwert 0 entfernt ?
Welche obere/untere Begrenzungen für die Funktionen [mm] f_n [/mm] kannst du damit herleiten ?
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}{f_{n}(x) dx}=1. [/mm] $
Ich glaube du musst die Zwischenschritte mit angeben. 
Zuerst das offensichtliche substituieren, dann partiell integrieren.
Ciao.
|
|
|
| |
|
gut,ich versuchs mal:
[mm] x\in[0,\infty)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=...
[/mm]
x=0
[mm] f_{n}(x)=0
[/mm]
[mm] f_{n}(0)\to [/mm] 0 für alle n [mm] \in\IN
[/mm]
x>0
[mm] f_{n}(x)= \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}}
[/mm]
[mm] f_{n}(0)\to [/mm] 0 wenn [mm] n\to \infty; \epsilon>0
[/mm]
| [mm] \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}}-0|= \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}}
[/mm]
[mm] 0\le \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}}\le \epsilon [/mm] ...wie könnte man das weiterführen,wenns richtig ist?
ich habe 2 Wertetabellen entworfen für n=2 und n=3 und da fiel mir dann auf, das die Funktion am weitesten vom Grenzwert 0 bei n entfernt ist. (also wenn n=2 dann hat sie bei x=2 eben die weiteste Entfernung zum Grenzwert)
wenn an der stelle n also das maximum liegt,kann ich dann so weiter vorgehen, um meine Behauptung auch zu beweisen?:
[mm] f_{n}(x):= \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}}\le [/mm] n
[mm] e^{-\bruch{x}{n}}\le \bruch{n}{\bruch{x}{n^2}}
[/mm]
[mm] e^{-\bruch{x}{n}}\le \bruch{n^3}{x}
[/mm]
[mm] -\bruch{x}{n}log(e)\le log(\bruch{n^3}{x}) [/mm] [log(e)=1]
[mm] \underbrace{-\bruch{x}{n}}_{<0}\le \underbrace{log(\bruch{n^3}{x})}_{>0} [/mm]
[mm] \to [/mm] wahre Aussage
Bitte verbessert mich oder sagt mir wie ich weiter machen könnte
liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Zneques |
> [mm] x\red{\ge}0
[/mm]
> $ [mm] f_{n}(x)= \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}} [/mm] $
> $ [mm] f_{n}(0)\to [/mm] $ 0 wenn $ [mm] n\to \infty; \epsilon>0 [/mm] $
Daher ist f(x)=0 der Grenzwert.
> x=0
> $ [mm] f_{n}(x)=0 [/mm] $
> $ [mm] f_{n}(0)\to [/mm] $ 0 für alle n $ [mm] \in\IN [/mm] $
Gut.
Dann dachte ich noch an
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f_{n}(x)=" \infty*e^{-\infty} [/mm] " =0
Somit ist die Abweichung nur dazwischen. Da die Fkt. stetig ist, muss also ein Maximum der Abweichung existieren.
> | $ [mm] \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}}-0|= \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}} [/mm] $
> am weitesten vom Grenzwert 0 bei n entfernt ist.
Ausgezeichnet. Kann man so aber leider nicht als mathematisch bewiesen zählen.
Wie findet man die am weitesten entfernte Stelle ? [mm] \hat= [/mm] Stelle mit dem max. Abstand [mm] \hat= [/mm] Maximum des Abstands
> $ [mm] f_{n}(x):= \bruch{x}{n^2}e^{-\bruch{x}{n}}\le [/mm] $ n
Naja, es stimmt, ist aber falsch hergeleitet.
x=n ist die Stelle der größten Abweichung. Den Abstand an der Stelle musst du noch errechnen.
> $ [mm] \to [/mm] $ wahre Aussage
Ja, ich sag ja, es stimmt.
Mit deinem Ergebnis läßt sich die Behauptung jedoch nicht beweisen, da [mm] \le [/mm] n für n [mm] \to \infty [/mm] keine harte Grenze ist.
Für [mm] \varepsilon=0,5 [/mm] würdest du somit kein [mm] n(\varepsilon) [/mm] bestimmen können.
Die Grenzen sollten die Fkt. also mit steigendem n immer näher an den Grenzwert "drücken".
Ciao.
|
|
|
|
