gleichschenkliges Dreieck < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 22.02.2006 | | Autor: | abi06 |
| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{4}{x^2+1}
[/mm]
b) man kann gleichschenklige dreiecke zeichnen, die zur 2. achse symmetrisch sind. ihre spitzen liegen im punkt O(0|0) und ihre anderen ecken sind punkte des graphen von f.
welches dieser dreiecke hat größtmöglichen inhalt?
c) lässt man die in b) gezeichneten dreiecke um die 1. achse rotieren, entstehen doppelkegel.
welcher dieser körper hat das größte volumen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hi alle zusammen, speziell yuma ;)
dies ist unser neues matheproblem...
wir haben in a) ne kurvendiskussion machen müssen
dabei hatten wir raus:
f'(x)= [mm] \bruch{-8x}{(x^2+1)^2}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{8(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}
[/mm]
nullstellen: keine
extrema: (0|4)
wendepkt.: ( [mm] \wurzel{ \bruch{1}{3}}|3) [/mm] & ( [mm] -\wurzel{ \bruch{1}{3}}|3)
[/mm]
asymptoten: y=2
nun aber hört es mit unserem wissen leider schon auf.
jedoch tippen wir, dass der wp als einer der punkte des dreiecks zum ergebnis führt. jedoch hilft uns das nicht, da wir nicht wissen, wie man das ergebnis (sofern es stimmt) beweisen kann.
bitte helft uns
liebe grüße
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hey,
zeichnet euch ersteinmal eine skizze.
in der seht ihr dann, dass dieses dreieck im prinzip auf dem kopf steht.
der flächeninhalt ist ja mit A= a*ha also seite a mal höhe dieser seite a definiert.
jetzt ist es von vorteil, wenn ihr die symetrie ausnutzt.
ihr könnt euch überlegen, dass man den flächeninhalt des dreickes im ersten quadranten einfach verdoppelt, somit kommt man auf den gesamten inhalt.
jetzt braucht ihr eine zielfunktion, die letztendlich eine funktion der form f(x) ist.
durch die symetrieausnutzung habt ihr nun ein rechtwinkliches dreieck.
jetzt müsst ihr euch nur noch überlegen, was a und was die höhe von a sein soll.
das dann einfach in die allgemeine dreiecksgleichung einsetzen, mal 2 nehmen (wegen der symetrie), ableiten und maxima finden. fertig,
gruß andreas
achso, ihr solltet es erst mal so rechnen und am anfang nicht so auf den wendepunkt achten, das kann man später immernoch machen, wenn man ihn braucht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 22.02.2006 | | Autor: | abi06 |
sicher sind deine aussagen richtig, aber wir sind grundkursler, denen so ne erklärung echt schwierigkeiten machen...
irgendwie bereitet es uns dennoch schwierigkeiten...
> jetzt müsst ihr euch nur noch überlegen, was a und was die
> höhe von a sein soll.
genau das is ja unsere frage. wie genau macht man das?
danke dennoch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo abi06!
Zu den geometrischen Größen seht ihr euch am besten mal Yuma's Skizze weiter unten an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mi 22.02.2006 | | Autor: | riwe |
wenn du dir die funktion und ein dreieck zeichnest, siehst du, dass A = [mm] x\cdot [/mm] f(x), und davon mußt du nun das maximum bestimmen.
werner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 22.02.2006 | | Autor: | abi06 |
also müssen wir dann x [mm] (\bruch{4}{x^2+1}) [/mm] ableiten un dann =0 setzen?
denn dann ham wir ja das maximum errechnet?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 22.02.2006 | | Autor: | abi06 |
hey yuma
schön, dass du wieder für uns da bist *g*
was würden wir nur ohne dich anfangen 
nee, wissen leider echt nicht, wo die formel herkommt. :'( kannst du es uns erklären?
ansosten is es doch bei der ableitung gleich den extrema, da x abgeleitet doch 1 ist? aber das kommt nicht raus... wir sind verwirrt... peinlich...
liebe grüße
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Hallo abi06!
Wie lautet denn der Flächeninhalt eines Dreieckes?
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g$
[/mm]
In unserem Falle setzt sich doch die Grundseite $g_$ aus dem doppelten $x_$-Wert zusammen; es gilt: $g \ = \ 2x$ .
Die zugehörige Höhe [mm] $h_g$ [/mm] wird genau durch den Funktionswert an der betrachteten Stelle $x_$ beschrieben.
Hier gilt also: [mm] $h_g [/mm] \ = \ f(x) \ = \ [mm] \bruch{4}{x^2+1}$
[/mm]
Setzen wir dies nun in die Flächenformel ein, erhalten wir:
$A(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*2x*\bruch{4}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x}{x^2+1}$
[/mm]
Für diese Funktion $A(x)_$ müsst ihr nun die Extremwertberechnung durchführen. Dabei müsst ihr für die Bildung der Ableitung die  Quotientenregel anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo an alle Beteiligten,
> c) lässt man die in b) gezeichneten dreiecke um die 1.
> achse rotieren, entstehen doppelkegel.
> welcher dieser körper hat das größte volumen
Lässt mich gerade mein 3D-Chip im Kopf hängen?! - wenn ich ein solches Dreieck um die $x$-Achse (1. Achse) drehe, entsteht doch kein Doppelkegel, sondern ein Zylinder, in den zwei Kegel hineingebohrt wurden, oder?
Liegt hier ein Fehler in der Aufgabenstellung vor, und hab ich gerade einen Aussetzer? 
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Yuma!
Auch mein 3D-Modul sagt mir, dass es sich hier bei einer Rotataion um die x-Achse nicht um einen (Doppel-)Kegel handelt, sondern um den von Dir beschriebenen Körper.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo alle miteinander,
hab als Newbie nicht schlecht gestaunt wie viele Leute sich an der Aufgabe beteiligen und helfen...
Das möchte ich auch mal tun.
Zur Frage, wie Aufgabe c) gemeint ist:
Lasse ich das Dreieck rotieren um die x-Achse, entsteht wie schon gesagt ein Zylinder, der aber zur Mitte hin nach innen geht. Ich verstehe die Aufgabe so, dass man dieses Volumen vergleichen soll mit dem Volumen, welches übrig ist, um den Zylinder zu füllen. Dieser Rest sind ja gerade die beiden (in der Aufgabe beschriebenen) Kegel. Laut Aufgabenstellung ist nun gefragt, welches Volumen größer ist: Das Volumen der beiden Kegel oder das vom rotierten Dreieck...
Viel Spaß!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Eric,
> Zur Frage, wie Aufgabe c) gemeint ist:
>
> Lasse ich das Dreieck rotieren um die x-Achse, entsteht wie
> schon gesagt ein Zylinder, der aber zur Mitte hin nach
> innen geht. Ich verstehe die Aufgabe so, dass man dieses
> Volumen vergleichen soll mit dem Volumen, welches übrig
> ist, um den Zylinder zu füllen. Dieser Rest sind ja gerade
> die beiden (in der Aufgabe beschriebenen) Kegel.
OK, man könnte die Aufgabenstellung so interpretieren, dass nicht das Drehkörpervolumen, sondern das Volumen des Körpers, der dem Zylinder "fehlt" (das ist ja in der Tat ein Doppelkegel!) betrachtet werden soll...
> Laut Aufgabenstellung ist nun gefragt, welches Volumen größer
> ist: Das Volumen der beiden Kegel oder das vom rotierten
> Dreieck...
Das wäre aber keine Extremwertaufgabe!
Es geht bei c) meiner Ansicht nach auch nicht um das spezielle Dreieck, das in b) gefunden wurde, sondern wieder um ein allgemeines gleichschenkliges Dreieck, welches man diesmal so wählen soll, dass das Volumen (nur welches?) maximal wird...
Ich glaube, wir werden es ohne die Mädels (abi06) nicht klären können!
MFG,
Yuma
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Diese Auffassung kann man auch vertreten, aber was mit den Kegeln gemeint?
Für mich liegt der Schwerpunkt dieser Aufgabe in der Rotation und Voluminaberechnung.
Ciao
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"c) lässt man die in b) gezeichneten dreiecke um die 1. achse rotieren, entstehen doppelkegel.
welcher dieser körper hat das größte volumen"
seht es mal mathemathisch, selbst wenn man wieder eine extremwertaufgabe daraus machen will, kommt man auf das gleiche dreieck wie in aufgabe b), da ja das dreieck mit dem größten flächeninhalt auch das größte volumen hat, wenn es um die x-achse rotiert (find ich in der aufgabenstellung auch etwas verwirrend, von achse 1 und 2 zu reden, egal), ist es doch egal.
gruß andreas
edit: sorry hatte einen denkfehler, stimmt ja, ist ja ein rotationskörper, arg, sorry nocheinmal;
stimme euch natürlich zu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mi 22.02.2006 | | Autor: | abi06 |
hi ihr alle!
cool, dass ihr euch alle um unsere aufgabe so bemüht. wir werden heute es nicht mehr schaffen, die durchzurechnen, aber machen wir morgen. versprochen
zu eurer frage, was fürn dreieck gemeint ist:
das dreieck, was in b errechnet wurde, so heißt es laut aufgabenstellung.
und danke noch ma an euch alle
grüße
eure abi06-mädels jasmin & julia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Di 07.03.2006 | | Autor: | abi06 |
| Aufgabe | Lässt man die in b) gezeichneten Dreiecke um die erste Achse rotieren, entstehen Doppelkegel.
Welcher dieser Körper hat das größte Volumen? |
hi alle miteinander
hi yuma, unser persönlicher nachhilfelehrer
wir haben b) logischerweise raus (nach all der zeit muss man ja wohl, wär sonst ja inakzeptabel).
nun haben wir in c) ein ergebnisproblem. wir dachten wiefolgt:
wenn wir den punkt b oder c aus dem dreieck nehmen und anhand dieser x- und y-werte eine fläche bilden, dann haben wir ein rechteck, was wir kreisen lassen. dies ergibt einen zylinder. y ist in diesem der radius, x die höhe. von diesem körper müssen wir später 1/3 des ergebnisses abziehen, um den kegel, der durch das dreieck entsteht (also der hohle raum, der in dem "zylinder" entsteht, welcher ja abgezogen werden muss.
wenn wir das alles so machen, dann haben wir erneut die punkte raus, wo der körper das größtmögliche volumen hat.
formel wäre also laut unserer gedanken:
[mm] y^2* \pi*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*y^2*\pi*x
[/mm]
y= [mm] \bruch{4}{x^2+1}
[/mm]
was bedeutet:
[mm] (\bruch{4}{x^2+1})^2* \pi*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*(\bruch{4}{x^2+1})^2*\pi*x
[/mm]
ist das soweit denn richtig oder haben wir was übersehen und kommen dadurch nie zum gewünschten erfolg?
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Hallo Leute,
ihr dachtet:
> [...] wenn wir den punkt b oder c aus dem dreieck nehmen und
> anhand dieser x- und y-werte eine fläche bilden, dann haben
> wir ein rechteck, was wir kreisen lassen. dies ergibt einen
> zylinder. y ist in diesem der radius, x die höhe. von
> diesem körper müssen wir später 1/3 des ergebnisses
> abziehen, um den kegel, der durch das dreieck entsteht
> (also der hohle raum, der in dem "zylinder" entsteht,
> welcher ja abgezogen werden muss.
>
> wenn wir das alles so machen, dann haben wir erneut die
> punkte raus, wo der körper das größtmögliche volumen hat.
>
> formel wäre also laut unserer gedanken:
>
> [mm]y^2* \pi*x[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}*y^2*\pi*x[/mm]
>
> y= [mm]\bruch{4}{x^2+1}[/mm]
>
> was bedeutet:
>
> [mm](\bruch{4}{x^2+1})^2* \pi*x - \bruch{1}{3}*(\bruch{4}{x^2+1})^2*\pi*x[/mm]
>
> ist das soweit denn richtig[...]?
Ich heiße zwar nicht Yuma, aber vor meinem ersten Kaffee im Büro würde ich sagen: ja.
Kleiner Tipp: vereinfacht die Formel vor dem Differenzieren, das spart die halbe
Arbeit!
Viel Vergnügen wünscht
Stukkateur
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo ihr zwei,
wie Stukkateur schon sagte, ist das alles sehr richtig!
Ein paar kleine Anmerkungen möchte ich noch machen:
1.) Habt ihr euch in der Schule darauf geeinigt, dass -anders als in der ursprünglichen Aufgabenstellung beschrieben- beim Rotieren des Dreiecks kein Doppelkegel, sondern ein Zylinder entsteht, in den zwei Kegel hineingebohrt wurden?
2.) Mit den Punkten $B,C$ meint ihr die Eckpunkte des Dreiecks, die nicht im Ursprung liegen, richtig? Eure Überlegungen sind wie gesagt alle richtig - aber ihr betrachtet jetzt nur den halben Rotationskörper!
Der ganze Körper (der durch Rotation von $-x$ bis $+x$ entsteht) besteht doch aus einem Zylinder mit der Höhe $2x$, dem jeweils in "Deckel" und "Boden" ein Kegel mit der Höhe $x$ (also einem Volumen [mm] $\bruch{1}{3}\pi\cdot(f(x))^{2}\cdot [/mm] x$) "fehlt".
Das Gesamtvolumen ist also [mm] $\pi\cdot (f(x))^{2}\cdot 2x-2\cdot\bruch{1}{3}\pi\cdot(f(x))^{2}\cdot x=\bruch{4}{3}\pi\cdot(f(x))^{2}\cdot [/mm] x$.
Das spielt zwar bei der Extremwertbestimmung keine Rolle, aber falls ihr das maximale Volumen dann auch ausrechnen wollt, müsst ihr schon die "richtige" Volumenfunktion nehmen.
Übrigens erhalte ich als idealen Punkt hier tatsächlich den Wendepunkt - ihr hattet sowas doch ganz zu Anfang schon einmal vermutet, wenn ich mich richtig erinnere...
MFG,
Yuma
PS: > hi yuma, unser persönlicher nachhilfelehrer
Ich bin nur einer von vielen, wie man in diesem Diskussionstrang sehr gut sehen kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 08.03.2006 | | Autor: | abi06 |
hi yuma
> 1.) Habt ihr euch in der Schule darauf geeinigt, dass
> -anders als in der ursprünglichen Aufgabenstellung
> beschrieben- beim Rotieren des Dreiecks kein Doppelkegel,
> sondern ein Zylinder entsteht, in den zwei Kegel
> hineingebohrt wurden?
wie soll das denn anders gehen. das dreieck steht doch immer auf dem kopf, so dass das ding ein zylinder ist... wie bekommt man denn daraus einen doppelkegel?
> 2.) Mit den Punkten [mm]B,C[/mm] meint ihr die Eckpunkte des
> Dreiecks, die nicht im Ursprung liegen, richtig? Eure
> Überlegungen sind wie gesagt alle richtig - aber ihr
> betrachtet jetzt nur den halben Rotationskörper!
ja, wir betrachten nur den halben, aber wir würden es am ende auch einfach mal 2 nehmen, wenn es um das volumen geht. wobei nach diesem sowieso nicht gefragt ist.
> Übrigens erhalte ich als idealen Punkt hier tatsächlich den
> Wendepunkt - ihr hattet sowas doch ganz zu Anfang schon
> einmal vermutet, wenn ich mich richtig erinnere...
ja, auch blinde hühner finden mal körner
> PS: > hi yuma, unser persönlicher nachhilfelehrer
> Ich bin nur einer von vielen, wie man in diesem
> Diskussionstrang sehr gut sehen kann.
ja, stimmt, aber du bist für uns immer da, wenns eng wird. ist einfach zuverlässig. du bist ein genialer lehrer! sehr geduldig un klar verständlich.
in dem sinne...
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo ihr beiden,
> > 1.) Habt ihr euch in der Schule darauf geeinigt, dass
> > -anders als in der ursprünglichen Aufgabenstellung
> > beschrieben- beim Rotieren des Dreiecks kein Doppelkegel,
> > sondern ein Zylinder entsteht, in den zwei Kegel
> > hineingebohrt wurden?
>
> wie soll das denn anders gehen. das dreieck steht doch
> immer auf dem kopf, so dass das ding ein zylinder ist...
> wie bekommt man denn daraus einen doppelkegel?
Genau das meinte ich ja! Wenn man das "auf dem Kopf stehende" Dreieck rotieren lässt, erhält man einen Zylinder. Aber natürlich keinen vollständigen Zylinder (sonst müsste man ja ein Rechteck rotieren lassen!), sondern einen dem ein Doppelkegel "fehlt". In den Zylinder sind also jeweils in "Boden" und "Deckel" ein Kegel hineingebohrt (ich merk' schon, 'ne Skizze wäre besser als diese komplizierte Beschreibung!).
Die Aufgabenstellung war aber (zumindest in der Version von vor 2 Wochen) so geschrieben, als würde beim Rotieren ein Doppelkegel entstehen. Deshalb die Frage, ob das in der Schule nochmal thematisiert wurde... oder hattet ihr damals die Aufgabenstellung nur falsch aufgeschrieben?
> ja, wir betrachten nur den halben, aber wir würden es am
> ende auch einfach mal 2 nehmen, wenn es um das volumen
> geht. wobei nach diesem sowieso nicht gefragt ist.
Damit habt ihr völlig Recht! Ich wollte nur sicher gehen, dass ihr das auch bedacht habt!
> ja, auch blinde hühner finden mal körner
Ich finde, ihr habt euch in den zwei Wochen ziemlich "gemausert"!
> > PS: > hi yuma, unser persönlicher nachhilfelehrer
> > Ich bin nur einer von vielen, wie man in diesem
> > Diskussionstrang sehr gut sehen kann.
>
> ja, stimmt, aber du bist für uns immer da, wenns eng wird.
> ist einfach zuverlässig. du bist ein genialer lehrer! sehr
> geduldig un klar verständlich.
Mach' ich doch gerne! Kann aber durchaus auch passieren, dass ich mich mal für ein paar Tage nicht blicken lasse - ich bin aber sicher, dass euch die anderen mindestens genauso kompetent beraten können!
Bis bald!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Mi 08.03.2006 | | Autor: | abi06 |
hi yuma :)
> Die Aufgabenstellung war aber (zumindest in der Version von
> vor 2 Wochen) so geschrieben, als würde beim Rotieren ein
> Doppelkegel entstehen. Deshalb die Frage, ob das in der
> Schule nochmal thematisiert wurde... oder hattet ihr damals
> die Aufgabenstellung nur falsch aufgeschrieben?
soll ein doppelkegel entstehen. unser lehrer meint heute, man solle es mit integralrechnung machen. wir fanden das allerdings überraschend komplizierter. es is so doch einfacher, oder?
> > ja, auch blinde hühner finden mal körner
>
> Ich finde, ihr habt euch in den zwei Wochen ziemlich
> "gemausert"!
danke, aber wir lernen ja auch wie verrückt. wir haben mittlerweile sogar gefallen an mathe gefunden. da lernt man wenigstens dauernd was.
> Mach' ich doch gerne! Kann aber durchaus auch
> passieren, dass ich mich mal für ein paar Tage nicht
> blicken lasse - ich bin aber sicher, dass euch die anderen
> mindestens genauso kompetent beraten können!
die sind sicher auch net schlechter.
aber is einfach cool, dass man sich immer auf dich verlasen kann.
also danke nochma!
grüße
julia & jasmin
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> die sind sicher auch net schlechter.
> aber is einfach cool, dass man sich immer auf dich
> verlasen kann.
> also danke nochma!
> grüße
> julia & jasmin
kurze frage, wollt ihr nicht persönlich telefonnummern austauschen? dann braucht ihr nicht mehr dieses forum besuchen
andreas
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