glm Konv. (EPSILONTIK) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
gewöhnlich weißt man ja die glm konvergenz mit der epsilontik nach. Jedoch verstehe ich die Logik dahinter nicht so ganz.
a) Eine Fkt. ist ja glm konvergent, wenn gilt:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein [mm] n_0, [/mm] so dass für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] und alle x aus D gilt:
| [mm] f_n [/mm] (x) - f(x) |< [mm] \varepsilon
[/mm]
b) Eine Fkt. ist nicht glm konvergent, wenn gilt:
Es exitiert ein [mm] \varepsilon, [/mm] so dass für alle [mm] n_0, [/mm]
n [mm] \ge n_0 [/mm] und x aus D existieren, so dass gilt:
| [mm] f_n [/mm] (x) - f(x) | [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
Bemerkungen zu a)
Ich hab das so verstanden:
Für ein festes [mm] \varepsilon [/mm] ist ein [mm] n_0 [/mm] zu wählen, so dass [mm] |f_n [/mm] - f| [mm] <\varepsilon [/mm] gilt für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] und x
Also z.B.
[mm] f_n [/mm] (x) = [mm] \bruch{x}{1+nx} [/mm] ist glm. konvergent auf ]0,1[, da
| [mm] \bruch{x}{1+nx}-0 [/mm] | < [mm] \bruch{x}{xn} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n_0} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
wobei man nun [mm] n_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] setzt. Also gilt
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] n_0= \bruch{1}{\varepsilon}, [/mm] so dass für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] und x [mm] \in [/mm] ]0,1[ gilt: | [mm] \bruch{x}{1+nx}|<\varepsilon
[/mm]
Bermerkung zu b)
Die Umkehrung der gleichmäßigen Konv. hab ich folgendermaßen verstanden.
Es gibt ein [mm] \varepsilon, [/mm] welches zu wählen ist, so dass für alle [mm] n_0, [/mm]
[mm] n\ge n_0 [/mm] und x [mm] \in [/mm] D existieren, und damit zu wählen sind, so dass gilt:
| [mm] f_n(x) [/mm] - f(x) | [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
Wieder ein Beispiel:
[mm] f_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] ist nicht glm. konvergent auf ]0,1[:
Man wähle [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2, [mm] n=n_0, x=(1/4)^{n_0}
[/mm]
Für diese Werte gilt:
[mm] |\wurzel[n]{x}-1|\ge [/mm] 1/2
<=> 1/2 [mm] \ge \wurzel[n]{x}
[/mm]
<=> 1/2 [mm] \ge \wurzel[n_0]{(1/4)^{n_0}}
[/mm]
<=> 1/2 [mm] \ge [/mm] 1/4 (true)
Also gilt:
[mm] \exists\ \varepsilon [/mm] =1/2 [mm] \forall\ n_0 \in \IN \exists\ [/mm] n = [mm] n_0 \exists\ [/mm] x = [mm] (1/4)^{n_0}: |\wurzel[n]{x}-1|>=\varepsilon
[/mm]
Hab ich das so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Pollux,
> a) Eine Fkt. ist ja glm konvergent, wenn gilt:
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] gibt es ein [mm]n_0,[/mm] so dass für alle n
> [mm]\ge n_0[/mm] und alle x aus D gilt:
> | [mm]f_n[/mm] (x) - f(x) |< [mm]\varepsilon[/mm]
>
> b) Eine Fkt. ist nicht glm konvergent, wenn gilt:
> Es exitiert ein [mm]\varepsilon,[/mm] so dass für alle [mm]n_0,[/mm]
> n [mm]\ge n_0[/mm] und x aus D existieren, so dass gilt:
> | [mm]f_n[/mm] (x) - f(x) | [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> Bemerkungen zu a)
> Ich hab das so verstanden:
> Für ein festes [mm]\varepsilon[/mm] ist ein [mm]n_0[/mm] zu wählen, so dass
> [mm]|f_n[/mm] - f| [mm]<\varepsilon[/mm] gilt für alle n [mm]\ge n_0[/mm] und x
Ja, ich formuliere den Gegensatz nochmal stärker:
Die Aussage $f$ konvergiert punktweise bedeutet nur, dass zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] und zu jedem [mm] $x_0\in [/mm] D$ ein [mm] $n_0$ [/mm] existiert, so dass für [mm] $n>n_0$ [/mm] stets [mm] $\left| f_n(x_0)-f(x_0)\right|<\varepsilon$ [/mm] gilt. Im allgemeinen gilt, dass dieses [mm] $n_0$ [/mm] sowohl von [mm] $\varepsilon$ [/mm] wie auch von [mm] $x_0$ [/mm] abhängt, d.h. an einer anderen Stelle [mm] $x_1$ [/mm] gibt es zum gleichen [mm] $\epsilon$ [/mm] ein andere und möglicherweise größeres [mm] $n_1$, [/mm] dass für alle [mm] $n>n_1$gilt:$\left|f_n(x_1)-f(x_1)\right|<\varepsilon$.
[/mm]
Im Gegensatz dazu kann man bei einer gleichmässig konvergenten Funktionenfolge zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] wählen, dass für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt: [mm] $\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon$.
[/mm]
> Also z.B.
> [mm]f_n[/mm] (x) = [mm]\bruch{x}{1+nx}[/mm] ist glm. konvergent auf ]0,1[,
> da
>
> | [mm]\bruch{x}{1+nx}-0[/mm] | < [mm]\bruch{x}{xn}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{n_0}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> wobei man nun [mm]n_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] setzt. Also
> gilt
> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]n_0= \bruch{1}{\varepsilon},[/mm]
> so dass für alle n [mm]\ge n_0[/mm] und x [mm]\in[/mm] ]0,1[ gilt: |
> [mm]\bruch{x}{1+nx}|<\varepsilon[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bermerkung zu b)
> Die Umkehrung der gleichmäßigen Konv. hab ich
> folgendermaßen verstanden.
> Es gibt ein [mm]\varepsilon,[/mm] welches zu wählen ist, so dass
> für alle [mm]n_0,[/mm]
> [mm]n\ge n_0[/mm] und x [mm]\in[/mm] D existieren, und damit zu wählen sind,
> so dass gilt:
> | [mm]f_n(x)[/mm] - f(x) | [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> Wieder ein Beispiel:
>
> [mm]f_n[/mm] = [mm]\wurzel[n]{x}[/mm] ist nicht glm. konvergent auf ]0,1[:
> Man wähle [mm]\varepsilon[/mm] = 1/2, [mm]n=n_0, x=(1/4)^{n_0}[/mm]
> Für
> diese Werte gilt:
> [mm]|\wurzel[n]{x}-1|\ge[/mm] 1/2
> <=> 1/2 [mm]\ge \wurzel[n]{x}[/mm]
> <=> 1/2 [mm]\ge \wurzel[n_0]{(1/4)^{n_0}}[/mm]
>
> <=> 1/2 [mm]\ge[/mm] 1/4 (true)
>
> Also gilt:
> [mm]\exists\ \varepsilon[/mm] =1/2 [mm]\forall\ n_0 \in \IN \exists\[/mm] n
> = [mm]n_0 \exists\[/mm] x = [mm](1/4)^{n_0}: |\wurzel[n]{x}-1|>=\varepsilon[/mm]
Ja, du hast hiermit gezeigt, dass man für ein gegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $n_0$ [/mm] immer eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] finden kann, wo für [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt: [mm] $\left|f_n(x_0)-f(x_0)\right|\ge \varepsilon$. [/mm]
>
> Hab ich das so richtig verstanden?
![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Gruß Max
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