globale Lip.Bedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Fr 02.06.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei G [mm] \subset \IR \times (\IR)^{n} [/mm] offen und f: G [mm] \to (\IR)^{n} [/mm] eine stetige Funktion, die auf G eine globale Lipschitzbedingung mit Lipschitz-Konstante L < [mm] \infty [/mm] erfüllt. Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall und seien [mm] a_{1}, a_{2} [/mm] : I [mm] \to (\IR)^{n} [/mm] Lösungen der DGL
x´= f(t,x).
Zu zeigen: für alle [mm] \alpha, [/mm] t [mm] \in [/mm] I gilt:
[mm] |a_{2}(t) [/mm] - [mm] a_{1}(t)| \le |a_{2}(\alpha) [/mm] - [mm] a_{1}(\alpha)| exp(L|t-\alpha|)
[/mm]
|
Hallo, leute!
ich habe versucht die aufgabe zu lösen, aber ich komme einfach auf keinen gescheiten ansatz.
die DGL ist so allgemein gegegeben, wie kann ich da eine abschätzung machen?
könnt ihr mir bitte einen tipp geben, wie ich anfangen könnte und mir so ungefähr erklären, inwiefern die voraussetzungen notwendig sind für die lösung der aufgabe.
ich wäre euch sehr dankbar! vielen dank!
VHN
|
|
| |
|
Hallo VHN,
> Sei G [mm]\subset \IR \times (\IR)^{n}[/mm] offen und f: G [mm]\to (\IR)^{n}[/mm]
> eine stetige Funktion, die auf G eine globale
> Lipschitzbedingung mit Lipschitz-Konstante L < [mm]\infty[/mm]
> erfüllt. Sei I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und seien [mm]a_{1}, a_{2}[/mm]
> : I [mm]\to (\IR)^{n}[/mm] Lösungen der DGL
> x´= f(t,x).
> Zu zeigen: für alle [mm]\alpha,[/mm] t [mm]\in[/mm] I gilt:
> [mm]|a_{2}(t)[/mm] - [mm]a_{1}(t)| \le |a_{2}(\alpha)[/mm] - [mm]a_{1}(\alpha)| exp(L|t-\alpha|)[/mm]
>
das sieht ein wenig nach gronwall-lemma aus, hattet ihr das schon? dazu später nochmal. schreib doch erstmal die voraussetzungen auf, nämlich:
[mm] $a_i'=f(t,a_i), [/mm] i=1,2$
es folgt
[mm] $a_2'(t)-a_1'(t)=f(t,a_2)-f(t,a_1)$
[/mm]
integrieren liefert:
[mm] $\int_\alpha^t a_2'-a_1'=\int_\alpha^t f(.,a_2)-f(.,a_1)$
[/mm]
also:
[mm] $(a_2-a_1)|^t_\alpha=\int_\alpha^t f(.,a_2)-f(.,a_1)$
[/mm]
damit ist
[mm] $a_2(t)-a_1(t)=a_2(\alpha)-a_1(\alpha)+\int_\alpha^t f(.,a_2)-f(.,a_1)$
[/mm]
Von dieser gleichung kommst du relativ schnell zum ergebnis, wenn du das gronwall-lemma anwendest.
Gruß
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Fr 02.06.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo MatthiasKr,
danke für deine ausführliche Antwort! Das Gronwall-Lemma haben wir noch nicht gehabt. Aber ich hab mal im Internet gesucht und es gefunden.
Es lautet doch allgemein so:
Es sei u eine positive, reellwertige Funktion, die auf dem Intervall I = [mm] [t_{0},t] [/mm] definiert und stetig ist, für die die Integralungleichung
u(t) [mm] \le [/mm] A + B [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{u(s) ds} \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] I gilt, A,B [mm] \ge [/mm] 0. D
Dann gilt die Ungleichung u(t) [mm] \le [/mm] A [mm] e^{B(t-t_{0})} [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] I .
Ich hab das dann auf meine Aufgabe angewandt.
[mm] a_{2}(t) [/mm] - [mm] a_{1}(t) [/mm] = [mm] a_{2}(a) [/mm] - [mm] a_{1}(a) [/mm] + [mm] \integral_{\alpha}^{t}{f(.,a_{2}) - f(., a_{1})} [/mm]
Da hab ich eine Frage, was bedeutet f(., [mm] a_{2}), [/mm] also ich meine der . in der 1. Koordinaten. Und nach was integrierst du?
Dann hab ich das Gronwall Lemma angewandt:
[mm] |a_{2}(t) [/mm] - [mm] a_{1}(t) [/mm] | [mm] \le |a_{2}(a) [/mm] - [mm] a_{1}(a)| e^{B(t-\alpha)}
[/mm]
Ist das B bei mir hier das L, also die Lipschitzkonstante? Ich versteh das nicht so ganz, warum das L in den Exponenten kommt.
Und bei der Aufgabenstellung soll im Exponenten |t- [mm] \alpha| [/mm] stehen und nicht (t- [mm] \alpha). [/mm] Ich weiß aber nicht, wie ich auf den Betrag kommen soll.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
VG, VHN
|
|
|
| |
|
hallo,
du musst an der stelle, wo mein erstes posting aufhört zum betrag übergehen und dann die lipschitz-bedingung ausnutzen. dann stehen die voraussetzungen für das gronwall-lemma schon da.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 03.06.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo,
danke für deine Hilfe. Ich hab folgendes gemacht, was du mir gesagt hast:
Ich hab die Betragstriche dort hingesetzt:
[mm] |a_{2}'(t) [/mm] - [mm] a_{1}'(t)| [/mm] = [mm] |f(t,a_{2}) [/mm] - [mm] f(t,a_{1})|
[/mm]
Und weil f auf G eine globale Lipschitzbedingung erfüllt gilt:
[mm] |a_{2}'(t) [/mm] - [mm] a_{1}'(t)| [/mm] = [mm] |f(t,a_{2}) [/mm] - [mm] f(t,a_{1})| \le [/mm] L [mm] |a_{2}-a_{1}|
[/mm]
Stimmt das so?
Dann hab ich das ganze integriert:
[mm] \integral_{\alpha}^{t}{|a_{2}'(t) - a_{1}'(t)| dt} \le [/mm] L [mm] \integral_{\alpha}^{t}{|a_{2}(s) - a_{1}(s)| ds}
[/mm]
Jetzt bin ich mir unsicher, wie man über einen Betrag integriert. Ich hab einfach mal so weiter gemacht, weiß aber nicht, ob das so richtig ist.
[mm] |a_{2}(t) [/mm] - [mm] a_{1}(t)| \le |a_{2}(\alpha) [/mm] - [mm] a_{1}(\alpha)| [/mm] + L [mm] \integral_{\alpha}^{t}{|a_{2}(s) - a_{1}(s)| ds}
[/mm]
Darauf hab ich dann das Gronwall- Lemma angewandt und es folgt:
[mm] |a_{2}(t) [/mm] - [mm] a_{1}(t)| \le |a_{2}(\alpha) [/mm] - [mm] a_{1}(\alpha)| e^{L|t- \alpha|}
[/mm]
Wie gesagt ich bin mir bei manchen Schritten nicht sicher. Ich hoffe, du hilfst mir weiter und sagst mir was nicht richtig ist.
LG, VHN
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> danke für deine Hilfe. Ich hab folgendes gemacht, was du
> mir gesagt hast:
> Ich hab die Betragstriche dort hingesetzt:
> [mm]|a_{2}'(t)[/mm] - [mm]a_{1}'(t)|[/mm] = [mm]|f(t,a_{2})[/mm] - [mm]f(t,a_{1})|[/mm]
Ich meinte, du machst da weiter, wo mein erstes posting aufhört und setzt erst dann die betragsstriche...
andersrum geht das ganze so nicht, denke ich.
VG
Matthias
|
|
|
|
