gram schmidt,bitte schnell < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Helpme |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
HI,ich habe nur eine kurze frage und zwar nehmen wir grad daas gram schmidt verfahren durch.wir suchen also b1,b2 und b3 und haben gegeben u1,u2 und u3...wir haben nun b2 ausgerechnet indem wir diese gleichnung benutzt haben
b2=u2- <u2,b1>b1 :||u2- <u2,b1>b1||
u1= [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
u2= [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
u3= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
b1= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
so nun haben wir erstmal das berechnet u2- <u2,b1>b1 die ist also ausgeschrieben
[mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] - < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} >\bruch{1}{ \wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
so und nun ist die nächste reihe
[mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(-2)\vektor{1 \\ -1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und diese verstehe ich nicht,ich sitzte schon seit fast 2std nur an diesem dämlichen schritt und ich weiß einfach nicht was da gemacht wurde wie kommen die plötzlich auf [mm] \bruch{1}{2}(-2)???
[/mm]
ach und < [mm] \vektor{a1 \\ b1 \\ c1},\vektor{a2 \\ b2 \\ c2}>:=a1a2+b1b2+c1c2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hi Helpme.
ich hatte das Thema heute auch gehabt und meine Antwort ist:
[mm] u_2- b_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] - < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] so das ist jetzt einfach eingesetzt so wie es bei dir auch schon steht.
Die [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] entsteht durch < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] und zwar ist das gleich, wegen der Bilinearität (ich denke die Aufgabe ist in [mm] \IR) [/mm] kannst du [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \in \IR [/mm] aus dem Skalarprodukt herausziehen: < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] = < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (-2) [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] (die -2 ergibt sich nach der Formel die du angegeben hast) = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und somit [mm] u_2- b_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] - < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] - [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] , du hattest [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] als Ergebnis ich denke da hast du dich verschrieben.
Gruß
Tito
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Helpme |
ah so:),mensch und dafür saß ich so lange..naja,jedenfalls danke.
hätte jetzt noch mal eine frage,wo ich ja schon hier bin;)Ich mache nämlich grad meine hausaufgabe und dort ist so eine ähnliche aufgabe(die dann ja jetzt mal gleich ausrechnen kann) und danch soll ich die matrix S der koordinatentransformation beim wechsel von ONB B0(also das was ich gleich ausrechnen werde)zu ONB B angeben.Sagen wir nun Bo ist{ [mm] \vec{u1}, \vec{u2}, \vec{u3}}also [/mm] die werte die ich davor benutzt habe und B:= [mm] \vec{e1}, \vec{e2}, \vec{e3},also [/mm] hier habe ich keine genauen werte,was genau muß ich jetzt machen?soll ich einfach aus B0 eine normierte zeilenstufenform [mm] machen?also\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] oder muß ich was anderes machen?kannst du mir da villeicht nochmal kurz helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hi nochmal,
tut mir leid, aber ich weiß nicht was du machen musst.
Aber das liegt teilweise auch daran, dass ich aus deinem Text nicht wirklich schlau werde, vielleicht solltest du die Aufgabe nochmal deutlicher aufschreiben ;), ist nicht böse gemeint.
Gruß
Tito
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Helpme |
es bezeichne B:={ [mm] \vec{e1}, \vec{e2}, \vec{e3} [/mm] } die standerdbasis des R3.Geben Sie die Matrix S der Koordinatentransformation bei wechsel von der ONB Bo zur ONB B an
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Tito |
Also ich schreibe einfach mal auf was ich machen würde, kann aber nicht garantieren ob das ein richtiger Weg ist. Habe selbst auch erst mit dem Thema ONB angefangen:
OK, gegeben war B := { [mm] e_1 ,e_2 ,e_3 [/mm] } die Standardbasis des [mm] \IR^3
[/mm]
[mm] B_o [/mm] eine ONB, ich denke das sind die Vektoren [mm] b_1 ,b_2 ,b_3 [/mm] , die du aus deinen [mm] u_1 ,u_2 ,u_3 [/mm] , deiner ersten Frage berechnet hast.
und gesucht ist die Koordinatentransformationsmatrix S von ONB [mm] B_o [/mm] zu ONB B.
Lösung:
- Als erstes würd ich die Basis B zu einer ONB B machen, nach dem Schema wie aus deiner ersten Frage (ich weiß nicht ob es bei der Standardbasis überhaupt nötig ist).
- Und dann S berechnen, wobei es meiner Meinung nach nichts weiteres ist als die Transformationsmatrix [mm] T^{B_o}_{ONB B} [/mm] von [mm] B_o [/mm] nach ONB B.
wie gesagt ich bin mir nicht sicher ;), hoffe ich habe dir trotzdem irgendwie weiter geholfen.
Gruß
Tito
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Fr 07.01.2005 | | Autor: | StSch47 |
wusste doch, dass ich die Aufgabe kenne ... Lineare Algebra, 8.Übung, TU-Berlin? ;)
S [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }:= \pmat{ \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} } [/mm] , aus [mm] \lambda_{1}* \varepsilon_{1}+ \lambda_{2}* \varepsilon_{2}+ \lambda_{3}* \varepsilon_{3}= \vec{u_{1}}
[/mm]
bezeichnet den ersten Spaltenvektor der Matrix S ( ==> LGS per Gauß lösen)
analog dazu wird der 2. und 3. Spaltenvektor ausgerechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hi Helpme.
ich hatte das Thema heute auch gehabt und meine Antwort ist:
[mm] u_2- b_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] - < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] so das ist jetzt einfach eingesetzt so wie es bei dir auch schon steht.
Die [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] entsteht durch < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] und zwar ist das gleich, wegen der Bilinearität (ich denke die aufgabe ist in [mm] \IR) [/mm] kannst du [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \in \IR [/mm] aus dem Skalarprodukt herausziehen: < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] = < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (-2) [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] (Die -2 ergibt sich aus deiner angegebenen Formel) = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und somit [mm] u_2- b_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] - < [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm] - [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Bei dir kam [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] heraus kann es sein das du dich da verschrieben hast?
gruß
Tito
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Tito |
Entschuldigung für dich doppel Antwort hab mich verdrückt ;).
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