grenzwert bei einem integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{0,5\pi}{\bruch{1}{sin^{2}(x)}}.......wird [/mm] zu: [mm] {-\bruch{cos(x)}{sin(x)}} [/mm] |
...mit einigem rumeiern kommt man da dann auf -cos(x) durch sin(x), nur gegen welchen grenzwert strebt das gerät im intervall 0 bis pi-halbe?? (mit taschenrechner müßte es gegen 3 sein, aber wie rechnet man das?????)
Rechenweg wäre echt cool!
Danke im Voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\integral_{0}^{0,5\pi}{\bruch{1}{sin^{2}(x)}}.......wird[/mm]
> zu: [mm]{-\bruch{cos(x)}{sin(x)}}[/mm]
> ...mit einigem rumeiern kommt man da dann auf -cos(x)
> durch sin(x), nur gegen welchen grenzwert strebt das gerät
> im intervall 0 bis pi-halbe?? (mit taschenrechner müßte es
> gegen 3 sein, aber wie rechnet man das?????)
> Rechenweg wäre echt cool!
Hallo,
Dein Taschenrechner lügt. (Hast Du ihn auch auf Bogenmaß eingestellt?)
Du mußt ja nun berechnen
[mm] \limes_{a\rightarrow 0}{-\bruch{cos(x)}{sin(x)}}|_a^{0.5\pi}=\limes_{a\rightarrow 0}({-\bruch{cos(0.5\pi)}{sin(0.5\pi)}}-{-\bruch{cos(a)}{sin(a)}})= [/mm] 0 [mm] +\limes_{a\rightarrow 0}\bruch{cos(a)}{sin(a)}= \limes_{a\rightarrow 0}\bruch{cos(a)}{sin(a)}= [/mm] ???
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{0,5/pi}{\bruch{1}{sin^2(x)}dx} [/mm] |
bei diesem grenzwert wäre die fläche ja unendlich groß...
allerdings stimmt 3 tatsächlich nicht, hatte mich vertippt!
bleibt weiter spannend
LG David
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...die obere integralgrenze ist 0,5pi, also pi-halbe sozusagen...
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> bei diesem grenzwert wäre die fläche ja unendlich groß...
Ja. Dieses Integral geht gegen unendlich.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | ...wenn man sich die kurve von [mm] -\bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm] ankuckt, müßte doch aber eigentlich ein Grenzwert rauskommen, gegen den das teil strebt...
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....jedenfalls danke nochmal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Do 21.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
das ist so oft die Frage der Anschaaung und der Mathematik.
Die Rechnung ergibt, dass die Fläche unendlich ist. Vorstellen kannst du es dir nicht so gut.
Guckst du dir z.B. auch die Fläche zwischen 0 und 1 von ln(x) an, dann wirst du durch Rechnung feststellen, dass diese Fläche begrenzt ist, also du kannst der Fläche einen Inhalt zuordnen.
Das ist oft so, dass die Mathematik einem etwas anderes sagt, als die Vorstellung, aber da glaubt man dann der Rechnung, dass der Grenzwert nicht exisitert.
LG
Kroni
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| Aufgabe | | ...eben, diese Fläche zwischen 0 und 1 bei ln(x)... |
...ist begrenzt!! Und das ist auch der Punkt : der Graph berührt die y-Achse NICHT, und trotzdem ist die Fläche begrenzt, d.h. ihr Inhalt überschreitet einen bestimmten Wert nicht.
Genau so müßte es bei der Fläche von - cos(x)/sin(x) sein! Nur wie kommt man durch geeignete Rechnung darauf? Wie geht das denn bei ln(x)?
Danke im Voraus!
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Was nicht so ist, kann man auch nicht zeigen. Das Integral von
f(x) = ln(x)
ist
F(x) = ln(x)*x - x
Der Flächeninhalt im Intervall [0,1] wäre dann
F(1) - F(0) = (ln(1) - 1) [mm] -\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (ln(x)*x) = 0 - 1 - 0 = -1
Also dieser Flächeninhalt ist endlich; der obige mit -sin(x)/cos(x) nicht; weil die Funktion ln(x) im Intervall [0,1] schneller gegen die x-Achse geht als -sin(x)/cos(x) im Intervall [mm] [0,\pi/2] [/mm] gegen die Gerade x = [mm] \pi/2.
[/mm]
Somit entsteht beim Logarithmus ein endlicher Flächeninhalt, bei -sin(x)/cos(x) nicht.
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