größter Zylinder im Kegel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Munzijoy |
| Aufgabe | | Mathilde will in einer Mühle ein kleines Café eröffnen. In dem kegelförmigen Dach der Mühle soll nun ein zylindrischer Wasserbehälter mit möglichst großem Volumen aufgestellt werden. Das Dach hat eine Höhe von 2,5 m und unten einen Durchmesser von 3 m. Welche Maße muss der optimale Zylinder haben? |
Das ganze ist nachzulesen auf http://www.geogebra.org/de/examples/extremwert/muehle.html
Daraus lässt sich ersehen, dass die korrekte Lösung r= 0,84 und h = 0,84 ist.
Wie lässt sich obriges Problem rechnerisch lösen?
Danke.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000016113&read=1&kat=Schule
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Mathilde will in einer Mühle ein kleines Café eröffnen. In
> dem kegelförmigen Dach der Mühle soll nun ein zylindrischer
> Wasserbehälter mit möglichst großem Volumen aufgestellt
> werden. Das Dach hat eine Höhe von 2,5 m und unten einen
> Durchmesser von 3 m. Welche Maße muss der optimale Zylinder
> haben?
Der Wasserbehälter (Zylinder) hat ein Volumen von [mm] $V_Z=\pi*r²*h$, [/mm] das es zu maximieren gilt.
Das Dach (Kegel) hat das Volumen [mm] $V_K [/mm] = [mm] \bruch{R²*\pi*H}{3}$
[/mm]
Mit den gegebenen Werten kannst du [mm] $V_K$ [/mm] berechnen und mit Hilfe einer Zeichnung weitere Abhängigkeiten ermitteln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Munzijoy |
Das Volumen beträgt 7,07 m³. Nun sollte ich rechnerisch verfahren, aber die Lösung ist schriftlich verlangt, bzw. wenn ich zeichne, erhalte ich doch das selbe Bild wie im Link angegeben. Inwiefern erhalte ich also neue Abhängigkeiten?
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Hi, Munzijoy,
das Zylindervolumen [mm] V_{Z} [/mm] soll ein Maximum annehmen.
Dazu musst Du eine der beiden Variablen (h oder r) eliminieren, um eine Funktion in nur noch EINER einzigen Variablen zu erhalten.
Du könntest dazu den Strahlensatz (Vierstreckensatz) verwenden:
[mm] \bruch{r}{1,5} [/mm] = [mm] \bruch{3 - h}{3}
[/mm]
Brauchst Du weitere Tipps?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Munzijoy |
Demnach könnte ich in die Gleichung für das Volumen des Zylinders für r folgendes einsetzen: (3-h)/3*1,5, denn das ist deine Gleichung umgestellt. Daraus dann die erste Ableitung bilden und h ausrechnen. Dies habe ich getan, allerdings ergibt sich h= 6, was unmöglich ist. Ist der Rechenweg nicht korrekt oder habe ich einen Rechenfehler gemacht?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Do 22.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zwerglein hat sich falsch an die Hoehe erinnert, da die 2,5 ist gilt nach Strahlensatz [mm] \bruch{r}{1,5}=\bruch{2,5-h}{2,5}
[/mm]
Aber du solltest sowieso hier nicht einfach formeln abschreiben, sondern nachvollziehen! und dazu den Schnitt durch das Dach mit dem Zylinder zeichnen und den Strahlensatz selbst sehen!
Und bei Nachfragen bitte deinen Rechenweg und nicht einfach ein ergebnis posten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Do 22.03.2007 | | Autor: | Munzijoy |
Vielen Dank, das Ergebnis stimmt. Allerdings kann ich nicht nachvollziehen, ob es der 1. Strahlensatz ist der gilt, und wo die Straheln, bzw. Paralelen sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Do 22.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ganze ist ein Kegelförmiges Dach. Und darin ist ein Zylinder eingebaut.
Wenn du jetzt den Querschnitt zeichnest, kommt ungefähr so etwas heraus. Die gefärbten Strecken, also die Abmessungen des Zylinders sollst du bestimmen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daraus solltest du die Strahlensätze erkennen können.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 22.03.2007 | | Autor: | Munzijoy |
Ich erkenne hier den 1. Strahlensatz. Doch warum gilt dieser, wenn es keinen paralellen Strahl zum Strahl s (der Seite des Kegels) gibt? Ist dies nicht Vorraussetzung dafür, das der Strahlensatz angewendet werden kann?
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Hallo Munzijoy!
Die beiden Radien (Zylinder und Kegel) verlaufen doch parallel.
Von daher darf ich hier auch den ![[]](/images/popup.gif) Strahlensatz anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Do 22.03.2007 | | Autor: | Munzijoy |
Vielen Dank, war ein Denkfehler von mir. Man muss die obere Strecke r betrachten (?!).
Damit dürfte die Aufgabe gelöst sein. Vielen herzlichen Dank.
Jetzt kann ich mir "eine goldene Nase verdienen".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 12.04.2008 | | Autor: | HiDu |
Was macht man eigentlich, wenn man weiß, dass man den Strahlensatz verwenden kann? Ich versteh das irgentwie nicht .
Wär nett wenn mir einer das erklären könnte.
Schon mal danke!
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Die sogenannten Strahlensätze sind eigentlich nur Anwendungen der Idee, dass ähnliche Dreiecke (also solche mit der gleichen Form, den gleichen Winkeln) auch gleiche Seitenverhältnisse haben. Konzentrier dich also in solchen Fällen auf die zwei zueinander ähnlichen Dreiecke, die du findest. Es lohnt sich, alle Ecken und Seiten der Dreiecke klar zu bezeichnen. Mach dir klar, welche Seiten gegeben und welche gesucht sind.
Ein Beispiel: Einem Dreieck ABC mit Grundlinie c=AB=8 und Höhe h=5 sei ein Rechteck PQRS einbeschrieben (P und Q auf der Grundlinie c, R auf BC und S auf AC). Die Länge PQ des Dreiecks soll x heissen, seine Breite QR = y. Welche Gleichung ergibt sich für x und y ?
Am einfachsten betrachtet man hier die Dreiecke ABC und SRQ, die offensichtlich ähnlich sind. Dann sind ihre Grundlinien und ihre Höhen proportional. Das Dreieck ABC hat die Grundlinie c=8 und die Höhe h=5.
Das Dreieck SRC hat die Grundlinie SR=x und die Höhe (h-y).
Jetzt kann man die Proportionalität aufschreiben, zum Beispiel in der Form:
8 : 5 = x : (h - y)
Anschliessend käme jetzt vielleicht die Extremwertaufgabe, in welcher man nun von zwei Variablen x und y die eine eliminieren könnte. Willst du nachher mit x weiterrechnen, so löst du die obige Gleichung zuerst nach y auf:
y = h - 5/8*x
und ersetzt die in der Aufgabe vorkommenden y durch h - 5/8*x .
Alles klar?
LG Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Sa 12.04.2008 | | Autor: | HiDu |
Ne sorry, das mein ich gar nicht. Ich mein wie kommt man dann davon aus darauf, wie groß der Zylinder sein soll und welches volumen er hat?
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Ich habe gemeint, dass der Strahlensatz dein Problem war.
Wenn das nicht der Fall ist und du dich wirklich auf die vorliegende Aufgabe mit dem Zylinder im Dach der Mühle beziehst, dann sollte es dir also nicht schwer fallen, die Gleichung
r/1.5 =(2.5-h)/2.5
nachzuvollziehen.
Die Zielgrösse, das Zylindervolumen, ist V = [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] *h
Nun musst du die obere Gleichung entweder nach r oder nach h auflösen. Beides kommt in Frage, aber vermutlich ist es sinnvoll, nach h aufzulösen (in der Volumenformel steht nur ein h , r müsste man noch quadrieren)
Wenn du das gefundene Ergebnis für h in die Volumenformel einsetzt, erhältst du das Volumen als Funktion der einzigen Variablen r.
Dann bist du an der Stelle, wo dann die eigentliche Differenzialrechnung anfängt.
Nützen dir diese weiteren Bemerkungen?
Gruss Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Sa 12.04.2008 | | Autor: | HiDu |
Ja danke. Jetzt hab ichs auch endlich verstanden.
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super!
das macht mich auch froh
Al-Ch.
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