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harmonische fkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Sa 20.05.2006
Autor: AriR

Aufgabe
Bestimmen Sie alle harmonischen Polynome in einer Variable, d.h. alle harmonischen
Funktionen [mm] \IR\to\IR [/mm] der Form
x [mm] \mapsto \summe_{i=0}^{n}a_k*x^k [/mm]
mit [mm] a_k\in\IR, [/mm] k = 0, . . . , n.

eine funktion ist hierbei harmonisch, wenn [mm] \Delta [/mm] f = 0 [mm] (\Delta [/mm] ist der Laplace opertor)

(Frage zuvor nicht gestellt)

hey leute, habe das hier etwas konfus ausgerechnet und rausbekommen, dass alle konstanten polynome harmonisch sind.

kann dies einer bestätigen? wenn ja, schreibe ich hier mal die lösung hin und wenn ihr lust habt, könnt ihr ja ein par sachen verbesser :)

danke und gruß Ari

        
Bezug
harmonische fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Sa 20.05.2006
Autor: c.t.

Hallo AriR,

ich meine doch, dass auch alle Polynome vom 1. Grad harmonisch sind, denn [mm] \Delta [/mm] ax=0.

Also sind doch genau alle Polynome vom Grad  [mm] \le [/mm] 1 harmonisch


in jeden fall hast du mit deiner Aussage recht.

Bezug
        
Bezug
harmonische fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Sa 20.05.2006
Autor: c.t.

noch mal Hallo,

ich will mal einen Beweis versuchen:

[mm] \Delta [/mm] f =  [mm] \summe_{i=1}^{\infty} i(i-1)a_{i}x^{i-2}=0 \gdw [/mm] i=0 [mm] \vee [/mm] (i-1)=0 [mm] \vee a_{i}x^{i-2}=0 [/mm]

f ist Polynom 0. Grades => f harmonisch, weil i=0
f ist ein Polynom 1. Grades => i-1=0 => f harmonisch
f ist ein Polynom mit Grad > 1 => i  [mm] \not=0 [/mm] , i-1  [mm] \not=0 [/mm] , [mm] a_{i}x^{i-2}\not=0 [/mm]

Bezug
                
Bezug
harmonische fkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Sa 20.05.2006
Autor: AriR

jo genau so hab ich das auch, nur das ich vergessen habe den fall für (k-1) noch mit hinzuzunehmen..

vielen dank :)

Bezug
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