hermitesch, unitär, normal < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 16.05.2006 | | Autor: | Arnbert |
Hallo zusammen!
und zwar brauche ich mal eure hilfe weil ich bei folgender Aufgabe gar nicht weiterkomme.Also:
Für A aus [mm] M(nxn,\IC) [/mm] sei exp (A):= [mm] E_n [/mm] + [mm] A+1/(2!)*A^2+...= \summe_{j=0}^{ \infty}(1/(j!)*A^j
[/mm]
Das die Reihe bzgl. der üblichen Norm für jedes A konvergiert wissen wir bereits, aber wie kann ich jetzt zeigen:
1.) Ist A hermitesch so ist exp (A) hermitesch. Ist A schiefhermitesch, so ist exp (A) unitär.
und 2.)
Ist A normal, so ist exp (A) das Produkt einer hermiteschen und einer unitären Matrix.
Hierzu fehlen mir jedenfalls die Ideen und es wäre nett wenn mir wer zeigen könnte, wie man das macht.
danke schon mal.
Gruß Arne
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Hallo und guten Tag,
ist eigentlich die Reihe immer endlich ? Na, jedenfalls ist dooch das Adjungieren eine stetige Abbildung, und wenn die Reihe konvergiert,
sollte die Reihe der Adjungierten gegen die Adjungierte des Limes konvergieren, es ist ja
für adj(A):= [mm] \overline{A}^T=\overline{A^T}
[/mm]
[mm] adj(\: \sum_{j=0}^n\frac{1}{j !}\cdot A^j\: )\:\: =\:\: \sum_{j=0}^n\frac{1}{j !}\cdot adj(A^j) =\sum_{j=0}^n\frac{1}{j !}\cdot (adj(A))^j,
[/mm]
nicht wahr ?
Der Rest sollte dann ähnlich über den Stetigkeitsansatz gehen.
Gruss und viel Erfolg,
Mathias
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