hinr. Krit. f''(x) < > 0 < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Informieren Sie sich, wieso die Bedingung f''(x) < > 0 eine hinreichende Bedingung für Extremstellen ist. |
Neues Schuljahr - neuer Lehrer.
Letztes Jahr haben wir zwar gelernt dass man die Ableitungen Null setzen muss, aber jetzt sollen wir das "Warum" lernen...
nur leider fällt mir da absolut keine Antwort zu ein.
Wäre super wenn mir das jemand erklären könnte (am besten ganz unkompliziert  ).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 08.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Simone,
Deine Schreibweise $f''(x) < > 0$ begreife ich nicht ganz.
Sollte sie in guter Basic-Manie bedeuten, dass $f''(x) [mm] \not= [/mm] 0$
ist Deine Aussage falsch:
z.B. [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] hat [mm] $f''(x)=e^x>0$ [/mm] für jedes beliebige $x$ und
nirgends irgendwelche Extremstellen.
Aber Du hast nach einer Anschauung zur Nützlichkeit
der zweiten Ableitung bei der Extrempunktsuche gefragt:
Überlege Dir eine "gutmütige", glatte Funktion. D.h.: Eine Funktion
die überall stetig ist und für deren Ableitungen dasselbe gilt.
* Die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ gibt Dir
die Steigung der Kurve von $f$ an der Stelle $x$ an.
- Ist [mm] $f'(x_0)>0$ [/mm] bedeutet dies, dass die Funktion $f$ an der
Stelle [mm] $x_0$ [/mm] gerade im Wachsen begriffen ist.
Eine Kugel die Du an dieser Stelle auf die Kurve legst
rollt nach links den Berg hinunter.
- Ist [mm] $f'(x_0)<0$ [/mm] bedeutet dies, dass die Funktion $f$ an der
Stelle [mm] $x_0$ [/mm] gerade im Schrumpfen begriffen ist.
Eine Kugel die Du an dieser Stelle auf die Kurve legst
rollt nach rechts den Berg hinunter.
- Ist [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] bedeutet dies, dass die Funktion $f$ an der
Stelle [mm] $x_0$ [/mm] gerade weder wächst noch fällt. Eine
Kugel die Du vorsichtig auf so eine Stelle legst würde
nicht wegrollen. Dies kann bei Hochpunkten, Tiefpunkten oder
Sattelpunkten der Fall sein.
Bei unseren gutmütigen Funktionen müssen wir also prüfen ob
wir einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt gefunden haben oder
ob wir einem Sattelpunkt aufgesessen sind.
Und hier kommt die zweite Ableitung ins Spiel.
* Die zweite Ableitung $f''(x)$ gibt Dir die Änderung der
ersten Ableitung $f'(x)$ an. D.h.:
- Falls $f''(x)>0$ ist, ist die erste Ableitung $f'(x)$ an der
Stelle $x$ im Wachsen begriffen.
Da $f'(x)$ aber die Steigung von $f(x)$ beschreibt
bedeutet dies, dass $f$ an der Stelle $x$ eine
Linkskurve fährt, denn die Steigung des SB's von
$f$ wächst an dieser Stelle mit wachsendem $x$.
Lies erst weiter, nachdem Du das verstanden hast!
Ist gleichzeitig $f'(x)=0$, muss bei diesem $x$ ein
Tiefpunkt vorliegen: $f$ beschreibt an der Stelle $x$ eine
Linkskurve die im Augenblick waagerecht verläuft!
- Falls $f''(x)>0$ fährt $f$ an der Stelle $x$ dementsprechend
eine Rechtskurve.
Ist also gleichzeitig $f'(x)=0$ hast Du einen Hochpunkt
gefunden.
- Falls $f''(x)=0$ behält $f(x)$ seine Steilheit bei,
Du könntest aber immer noch ein Extremum an der Stelle
haben! (z.B.: [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] hat an der Stelle $x=0$ ein Minimum
obwohl $f''(0) = [mm] 12\cdot 0^2 [/mm] = 0$). Aber $f''''(0)=24>0$
verrät uns, dass sich $f''(x)$ bei $x=0$ in einer Rechtskurve
befindet und wir dort also dennoch einen Tiefpunkt haben)
Hier helfen Punktproben oder das Untersuchen weiterer
Ableitungen.
Das war ziemlich viel Text. Als Quintessenz merke Dir:
* $f'(x)$ liefert die Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x$
* $f''(x) > 0$ bedeutet, dass $f$ an der Stelle $x$ eine Linkskurve
fährt.
* $f''(x) < 0$ bedeutet, dass $f$ an der Stelle $x$ eine Rechtskurve
fährt.
Und zum Schluss für die Formelsammlung: Sei $f$ eine überall beliebig
oft stetig ableitbare Funktion. Dann gilt:
* [mm] ($f'(x_0)=0$ [/mm] UND [mm] $f''(x_0)>0$) [/mm] ist hinreichend für einen Tiefpunkt bei [mm] $x_0$
[/mm]
* [mm] ($f'(x_0)=0$ [/mm] UND [mm] $f''(x_0)<0$) [/mm] ist hinreichend für einen Hochpunkt bei [mm] $x_0$
[/mm]
* [mm] ($f'(x_0)=0$ [/mm] UND [mm] $f''(x_0)=0$) [/mm] ist notwendig für einen Sattelpunkt bei [mm] $x_0$
[/mm]
Liebe Grüße sendet Dir
Markus-Hermann.
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Hallo Markus-Hermann,
danke für deine schnelle Antwort.
Ich musste es mir zwar mehrmals durchlesen um es zu begreifen, aber letztendlich hat mir deine Erklärung sehr bei den Hausaufgaben geholfen  .
Viele Grüße,
Simone
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mi 08.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Das freut mich! Ich hatte durchaus die Sorge, dass die Unmenge
Text, zu der die "kurze Anschauung" am Ende wurde, ihre Lesbarkeit
verloren hatte!
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