höhere Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Fr 03.08.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
Ich sitze gerade vor einem Artikel, in dem höhere Ableitungen vorkommen.
Sei eine Funktion g gegeben: [mm]g:\IR^3\to\IR[/mm] mit [mm](x,y,z)\mapsto{(-x+y+z)*(x^4+y^4+z^4)}[/mm]
Nun steht dort weiter: Für (x,y,z)=(0,0,0) gilt
"The higher derivative operators (tensors)"
g'((0,0,0))=0 (okay, das ist der Gradient von g)
g''((0,0,0))=0 (okay, das ist die Hessematrix von g)
g'''((0,0,0))=0.
Wie sieht denn die dritte Ableitung aus? Was soll das denn sein? Oben wird der Begriff Tensor genannt, leider wird aber im ganzen Artikel nicht einmal erklärt, wie die höheren Ableitungen gebildet werden.
Wenn mir das jemand erklären könnte oder einen Link wüsste, wäre super.
Vielen Dank.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Fr 03.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo,
ich VERMUTE die 3. Ableitung ist einfach die Jacobi-Matrix der Hesse-Matrix:
Sei H die Hesse-Matrix zu g:
H = [mm] \pmat{ h_{11} & h_{12} & h_{13}\\ h_{21} & h_{22} & h_{23}\\ h_{31} & h_{32} & h_{33}}
[/mm]
Dann wäre die 3. Ableitung:
J(H)= [mm] \pmat{\bruch{\partial h_{11}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{11}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{11}}{\partial z} \\ \bruch{\partial h_{21}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{21}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{21}}{\partial z}\\ \bruch{\partial h_{31}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{31}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{31}}{\partial z}\\ \bruch{\partial h_{12}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{12}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{12}}{\partial z}\\ \bruch{\partial h_{22}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{22}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{22}}{\partial z}\\ \bruch{\partial h_{32}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{32}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{32}}{\partial z}\\ \bruch{\partial h_{13}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{13}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{13}}{\partial z}\\ \bruch{\partial h_{23}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{23}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{23}}{\partial z}\\ \bruch{\partial h_{33}}{\partial x} & \bruch{\partial h_{33}}{\partial y} & \bruch{\partial h_{33}}{\partial z}\\ }
[/mm]
Vielleicht kann dies ja jemand bestätigen, der es sicher weiß...
Schöne Grüße
franzzink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Fr 03.08.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo franzzink,
danke, dass du deine Vermutung gepostet hast. Ich habe auch schon mal im Internet gesucht, gefunden habe ich aber nichts.
Aber vielleicht untermauert noch jemand deine These.
Vielen Dank.
Grüße
barsch
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Hallo!
Das ist schon ganz richtig so. Jede Komponente wird für sich nach x, y, z abgeleitet. Die erste Ableitung eines Skalarfeldes hat daher 3 Elemente ("Vektor"),für die zweite wird jede Komponente der 1. Ableitung nochmals nach x, y, z abgeleitet ("Matrix", 3x3=9 Elemente), und die dritte Ableitung hat demnach 3x3x3=27 Elemente.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Fr 03.08.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo!
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> Das ist schon ganz richtig so. Jede Komponente wird für
> sich nach x, y, z abgeleitet. Die erste Ableitung eines
> Skalarfeldes hat daher 3 Elemente ("Vektor"),für die
> zweite wird jede Komponente der 1. Ableitung nochmals nach
> x, y, z abgeleitet ("Matrix", 3x3=9 Elemente), und die
> dritte Ableitung hat demnach 3x3x3=27 Elemente.
vielen Dank. Mir war die Darstellung unklar. Da eben auch der Begriff des Tensors fiel. Nun bin ich schlauer, danke ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Grüße
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Hallo!
> >
> > Das ist schon ganz richtig so. Jede Komponente wird für
> > sich nach x, y, z abgeleitet. Die erste Ableitung eines
> > Skalarfeldes hat daher 3 Elemente ("Vektor"),für die
> > zweite wird jede Komponente der 1. Ableitung nochmals nach
> > x, y, z abgeleitet ("Matrix", 3x3=9 Elemente), und die
> > dritte Ableitung hat demnach 3x3x3=27 Elemente.
>
>
> vielen Dank. Mir war die Darstellung unklar. Da eben auch
> der Begriff des Tensors fiel. Nun bin ich schlauer, danke
>
Tensoren sind schon spezielle (mathematische) Objekte, die auch gewisse Eigenschaften haben. Ich lese mich gerade in die Tensoranalysis ein (was auf mich bisher im Wesentlichen nur wie lineare Algebra in einer anderen Notation wirkt).
Wenn Du mal was suchst: Das Buch von Schade und Neeman, Tensoranalysis, ist schon ganz gut, finde ich jedenfalls.
Aber nur, falls Du Dich mal mit Tensoranalysis beschäftigen willst - oder mit Tensoralgebra. Das sind schon, wie ich finde, spannende Gebiete, aber das schlimmste ist meiner Meinung nach, sich erstmal an die Notationen zu gewöhnen. Und das ich in Differentialgeometrie nun auch kein so starken Vorkenntnisse habe, erschwert mir das Lesen (anderer) Bücher bzgl. der oben stehenden Gebiete auch ein wenig ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Fr 03.08.2012 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
was Tensoranalysis angeht habe ich eine Menge durch anwendugsbezogene Textbücher gelernt - wenn die englische Sprache kein Problem darstellt, dann kann ich folgende Bücher empfehlen:
Mathematical Methods in Physical Science - Mary L. Boas (relativ kurz aber mit viel Übungsmaterial)
Vector Analysis - Schaum's Outline Series (hat eine schöne Einführung in Tensor-schreibweise)
General Relativity - N.M.J. Woodhouse (hier habe ich am meisten gelernt und auch sehen können warum man es eigentlich gut gebrauchen kann).
Soll es um angewandte Differentialgeometrie gehen, habe ich nur zwei ziemliche Schinken als Empfehlung, die auch alles andere als leichte Kost sind
The Geometry of Physics:An Introduction - T. Frankel (Es wird so gut wie alles Wichtige abgedeckt, schönes Buch über angewandte Differentialgeometrie)
Introduction to Dynamics and Symmetry - J. E. Marsden & T. Ratiu
Das ist alles etwas off-topic, ich entschuldige mich dafür.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Sa 04.08.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo,
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> was Tensoranalysis angeht habe ich eine Menge durch
> anwendugsbezogene Textbücher gelernt - wenn die englische
> Sprache kein Problem darstellt, dann kann ich folgende
> Bücher empfehlen:
anwendungsbezogen ist nie verkehrt.
>
> Mathematical Methods in Physical Science - Mary L. Boas
> (relativ kurz aber mit viel Übungsmaterial)
>
> Vector Analysis - Schaum's Outline Series (hat eine schöne
> Einführung in Tensor-schreibweise)
>
> General Relativity - N.M.J. Woodhouse (hier habe ich am
> meisten gelernt und auch sehen können warum man es
> eigentlich gut gebrauchen kann).
>
> Soll es um angewandte Differentialgeometrie gehen, habe ich
> nur zwei ziemliche Schinken als Empfehlung, die auch alles
> andere als leichte Kost sind
>
> The Geometry of Physics:An Introduction - T. Frankel (Es
> wird so gut wie alles Wichtige abgedeckt, schönes Buch
> über angewandte Differentialgeometrie)
>
>
> Introduction to Dynamics and Symmetry - J. E. Marsden & T.
> Ratiu
>
> Das ist alles etwas off-topic, ich entschuldige mich
> dafür.
Ne, das passt schon  - Danke für die Buchtipps.
>
> LG
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Sa 04.08.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
danke für den Buchtipp. Je nachdem, wie tief in dem Artikel, den ich gerade bearbeite, noch auf Tensoren eingegangen wird, werde ich evtl. darauf zurückgreifen.
Vielen Dank.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> danke für den Buchtipp. Je nachdem, wie tief in dem
> Artikel, den ich gerade bearbeite, noch auf Tensoren
> eingegangen wird, werde ich evtl. darauf zurückgreifen.
vor allem musst Du aber - wie das halt bei fast jedem Lehrbuch ist - auch gucken, ob Du mit dem Schreibstil zurechtkommst und ob Du dort auch die Sachen findest, die für Dich interessant sind. Ich empfinde das Buch bisher mehr so als "Einstieg in die Tensoranalysis". Aber das liegt auch an zwei Dingen, die miteinander gekoppelt sind:
Mir fehlt oft die Zeit, mich tiefer damit zu befassen - und entsprechend ist der zweite Punkt halt, dass ich das Buch bisher noch nicht wirklich weit durchgearbeitet habe.
Die ganzen Buchtipps von Montblanc sind sicher auch super, denn soweit ich das mitbekommen habe scheint sich Montblanc schon ofter und mir mit dieser Materie befasst zu haben
Gruß,
Marcel
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> barsch
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