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hallo erstmal ich hoffe mir kann jetzt einer helfen, ich sitz jetzt schon lange an der aufgabe aber ich komm zu keinem loesungsweg.
und zwar
skizzieren sie fuer h=-2,-1,2 die hoehenlinien [mm] {(x,y)\in \IR^{2}| f(X,Y)=h}
[/mm]
der durch f(x,y)= [mm] \bruch{x^{2}+ y^{2}}{x+y} [/mm] fuer [mm] x\not=-y [/mm] und f(x,-x)=0
definierten funktion an welchen stellen ist die funktion stetig.
irgendwie komm ich gar nicht weiter um die hoehenlinien auszurechnen
[mm] \bruch{x^{2}+ y^{2}}{x+y} [/mm] =-2 z.b. oder? wie kann ich dann die funktion zeichnen fuer die eine hoehenlinie
waere echt nett wenn mir jemand helfen koennte
danke schon mal
hab die frage in keinem anderen forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
> hallo erstmal ich hoffe mir kann jetzt einer helfen, ich
> sitz jetzt schon lange an der aufgabe aber ich komm zu
> keinem loesungsweg.
>
> und zwar
>
> skizzieren sie fuer h=-2,-1,2 die hoehenlinien [mm]{(x,y)\in \IR^{2}| f(X,Y)=h}[/mm]
>
> der durch f(x,y)= [mm]\bruch{x^{2}+ y^{2}}{x+y}[/mm] fuer [mm]x\not=-y[/mm]
> und f(x,-x)=0
>
> definierten funktion an welchen stellen ist die funktion
> stetig.
Auf IR²\ {(x,y);x=-y} ist die Stetigkeit ja klar, da Quotient stetiger Funktionen. Also müssen wir nur noch Punkte mit x=-y, also die Menge
{(x,-x) aus IR²}. Du musst also untersuchen für welche x gilt:
[mm] (x_{n},y_{n})\to(x,-x) [/mm] => [mm] f(x_{n},y_{n})\to [/mm] f(x,-x)=0?
>
>
> irgendwie komm ich gar nicht weiter um die hoehenlinien
> auszurechnen
>
> [mm]\bruch{x^{2}+ y^{2}}{x+y}[/mm] =-2 z.b. oder? i
Das ist richtig.
wie kann ich dann
> die funktion zeichnen fuer die eine hoehenlinie
>
> waere echt nett wenn mir jemand helfen koennte
>
> danke schon mal
>
>
> hab die frage in keinem anderen forum gestellt
Du kannst deine Gleichung nehmen und versuchen y als Funktion von x darzustellen. Der Graph der Funktion y=y(x) ist dann eine Höhenlinie.
Also:
[mm]\bruch{x^{2}+ y^{2}}{x+y}[/mm] =-2
x²+y²=-2x-2y
y²+2y+(x²+2x)=0
Wenn du jetzt die pq-Formel mit p=2 und q=(x²+2x) erhälst du y in Abhängigkeit von x, wobei es genau genommen zwei Funktionen wren wegen dem +- in der pq-Formel.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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wieso die p q formel
ware das dann nicht ein kreis mit dem mittelpunkt (-1,-1) und dem radius
[mm] \wurzel{2}
[/mm]
und wie mach ich dass dan mit der stetigkeit?
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Gut aufgepasst!
Das sind tatsächlich Kreise!
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das mit den hoehenlinien hab ich jetzt schon geloest hoffe ich doch, aber mit der stetigkeit hab ich noch ein paar probleme
in einem loesungshinweis steht drin:
die menge der nullstellen ist y=-x, aber wie geht des
wenn ich denn term null setze dann steht doch dorten
[mm] y^2=-x^2 [/mm] und da darf ich doch nicht die wurzel ziehen im R
oder?
aber ich versteh nicht ganz wie ich da jetzt mit der stetigkeit vorgehen kann, ich hoffe mir kann nocheimal einer weiterhelfen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Blech |
> das mit den hoehenlinien hab ich jetzt schon geloest hoffe
> ich doch, aber mit der stetigkeit hab ich noch ein paar
> probleme
>
> in einem loesungshinweis steht drin:
>
> die menge der nullstellen ist y=-x, aber wie geht des
Folgt aus der Definition
$f(x,y):= [mm] \begin{cases}\bruch{x^{2}+ y^{2}}{x+y} &\quad \mbox{für}\ x\neq-y\\ 0 &\quad \mbox{für}\ x=-y\end{cases}$
[/mm]
> [mm]y^2=-x^2[/mm] und da darf ich doch nicht die wurzel ziehen im R
> oder?
Richtig. Daraus folgt, daß wir mit den (x,-x) auch schon alle Nst. haben.
> aber ich versteh nicht ganz wie ich da jetzt mit der
> stetigkeit vorgehen kann, ich hoffe mir kann nocheimal
> einer weiterhelfen
Der Quotient zweier stetiger Funktionen (ohne Nst im Nenner natürlich) ist stetig.
Damit bleiben noch die Punkte der Form y=-x. Nachdem, wie schon festgestellt, im Zähler der Abstand des Punktes vom Ursprung steht. ist die Funktion also in diesen Punkten nicht stetig mit Ausnahme von (0,0). Das mußt Du noch zeigen.
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und wie zeige ich des dann?
waere nett wenn du mir da noch ein bisschen weiterhelfen koenntest
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
es ist sinnvoll hier Polarkoordinaten zu verwenden. Es gilt dann die Transformationsformel:
x=rcos o
y=rsin o
Eingesetzt in die Funktion ergibt dies:
f(x,y)=f(rcos o,rsin [mm] o)=\bruch{r²}{r(cos o + sin o)}=\bruch{r}{cos o + sin o}.
[/mm]
(x,y) geht genau dann gegen (0,0), wenn r gegen 0 geht.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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