holomorphe Stammfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] A\subset D_{1}(0) [/mm] diskret und sei f: [mm] D_{1}\A->\IC [/mm] holomorph. Zeigen Sie: f hat eine Stammfunktion genau dann, wenn res(f,a)= 0 gilt für alle [mm] a\in [/mm] A. |
Liebe Matheexperten,
ich habe diese Aufgabe bearbeitet, weiß allerdings nicht, ob sie so korrekt ist. Würde jemand von euch drüber schauen?
[mm] D_{1}(0) \subset\ [/mm] IC offen, A ist diskret und f ist holomorph auf [mm] D_{1}(0)\A. [/mm]
[mm] \gamma:=\partial D_{1}(0) [/mm] ist ein Integrationsweg in [mm] D_{1}(0)\A [/mm] mit [mm] Int(\gamma) \subset D_{1}(0).
[/mm]
Das heißt aber wir können den Residuensatz anwenden und zwar betrachten wir ein [mm] a\in [/mm] A (nicht alle).
0=res(f,a) = [mm] \integral_{\partial D_{r}(a)}^{}{f(z) dz}
[/mm]
= [mm] \integral_{\partialD_{1}(0)}^{}{f(z) dz}= \bruch{1}{2\pi}\integral_{\partial D_{1}(0)}^{}{\bruch{1}{z-a}dz} \bruch{1}{2\pi} \integral_{\partial D_{1}(0)}^{}{f(z) dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi^{2}}\integral_{\partial D_{1}(0)}^{}{ \bruch{f(z)}{z-a}dz}.
[/mm]
Das ist aber genau die Voraussetzung, die wir brauchen, damit f eine holomorphe Stammfunktion besitzt....oder is irgendwas falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 26.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A\subset D_{1}(0)[/mm] diskret und sei f: [mm]D_{1}\A->\IC[/mm]
> holomorph. Zeigen Sie: f hat eine Stammfunktion genau dann,
> wenn res(f,a)= 0 gilt für alle [mm]a\in[/mm] A.
> Liebe Matheexperten,
> ich habe diese Aufgabe bearbeitet, weiß allerdings nicht,
> ob sie so korrekt ist. Würde jemand von euch drüber
> schauen?
>
> [mm]D_{1}(0) \subset\[/mm] IC offen, A ist diskret und f ist
> holomorph auf [mm]D_{1}(0)\A.[/mm]
> [mm]\gamma:=\partial D_{1}(0)[/mm] ist ein Integrationsweg in
> [mm]D_{1}(0)\A[/mm] mit [mm]Int(\gamma) \subset D_{1}(0).[/mm]
>
> Das heißt aber wir können den Residuensatz anwenden und
> zwar betrachten wir ein [mm]a\in[/mm] A (nicht alle).
> 0=res(f,a) = [mm]\integral_{\partial D_{r}(a)}^{}{f(z) dz}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{\partialD_{1}(0)}^{}{f(z) dz}= \bruch{1}{2\pi}\integral_{\partial D_{1}(0)}^{}{\bruch{1}{z-a}dz} \bruch{1}{2\pi} \integral_{\partial D_{1}(0)}^{}{f(z) dz}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2\pi^{2}}\integral_{\partial D_{1}(0)}^{}{ \bruch{f(z)}{z-a}dz}.[/mm]
>
> Das ist aber genau die Voraussetzung, die wir brauchen,
> damit f eine holomorphe Stammfunktion besitzt....oder is
> irgendwas falsch?
Etwas ist komisch ! Wenn f auf [mm] D_{1}(0) [/mm] holomorph ist, so hat f in jedem a [mm] \in [/mm] A eine hebbare Singularität, also ist in jedem a aus A : res(f,a)= 0
Da [mm] D_{1}(0) [/mm] einfach zusammenhängend ist, besitzt f dort eine Stammfunktion.
Irgendetwas ist an der Aufgabenstellung nicht in Ordnung
FRED
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MMh...wenn aber res(f,a) = 0 is, vielleicht muss man dann einfach zeigen, dass die Singularität hebbar sein muss und dann so schließen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Sa 26.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo
> MMh...wenn aber res(f,a) = 0 is, vielleicht muss man dann
> einfach zeigen, dass die Singularität hebbar sein muss und
> dann so schließen?
Da die Funktion laut Voraussetzung holomorph ist, hat sie keine Singularitaet! Soll die Funktion aus der Aufgabenstellung evtl. meromorph sein?
LG Felix
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Naja, aber sie is ja nur holomorph in einer Umgebung von der Singularität...oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Sa 26.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Naja, aber sie is ja nur holomorph in einer Umgebung von
> der Singularität...oder?
Mir schwant was...
Schau dir bitte mal genau an, wie sich deine Aufgabenstellung hier im Thread liest, im Vergleich zur richtigen Aufgabenstellung. Dann wirst du schnell merken, dass du die Formel "$f : [mm] D_1 \setminus [/mm] A [mm] \to \IC$" [/mm] falsch geschrieben hast.
Wenn man das [mm] $\setminus [/mm] A$ hinzufuegt, was hier im Thread vorher nicht stand, macht das ganze gleich mehr Sinn.
LG Felix
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Oh verdammt, ja du hast Recht...aber wie sieht es dann aus mit der Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Eine Richtung zeig ich Dir mal:
Vor. : f besitzt auf [mm] D_1(0) [/mm] \ A eine Stammfunktion.
Sei a [mm] \in [/mm] A. mit hinreichend kleinem r>0 gilt dann:
$2 [mm] \pi [/mm] i *res(f;a) = [mm] \integral_{|z-a|=r}^{}{f(z) dz}$
[/mm]
Da f eine Stammfunktion besitzt ist das Integral rechts = was ?
FRED
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Ist denn meine obige Lösung falsch?;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:28 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist denn meine obige Lösung falsch?;)
Ja, Du verwendest das Integral [mm] \integral_{\partial D_{1}(0)}^{}{ \bruch{f(z)}{z-a}dz}
[/mm]
f ist auf [mm] \partial D_{1}(0) [/mm] gar nicht definiert !!
FRED
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Naja, das obige Integral ist dann 0 wegen dem Cauchyschen Integralsatz für Kreise, oder? Und damit ist die eine Richtung ja quasi schon gezeigt...und wenn wir wissen, dass das residum null ist, gehts doch genauso oder? dann schreibt man das als das Integral und dann dürfte das auch gehen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 03.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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