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| Aufgabe |
f(x)= 1/x W(0|0)
Von welchem Punkt P des Graphen hat W den kleinsten Abstand?
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angefangen habe ich mit den grenzwerten ... weiss aber leider nicht weiter...
habe auch tipps bekommen, dass man es mit dem satz des pythagoras lösen könnte, doch davon hatte ich noch nie was gehört...
danke..
ICH habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Fr 18.08.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi,
vorab ein herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich würde diese Aufgabe folgendermaßen lösen:
ich schneide deine Hyperbel [mm] \bruch{1}{x} [/mm] mit der 1. Mediane (Gleichung: y=x), daher setze ich:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = x
umgeformt ergibt das:
x1=1
x2=-1
Ist egal welchen Punkt du nimmst, ich nehm einmal x1:
der Punkt P lautet daher bisher
(1/y)
y....muss man jetzt noch finden
hier muss man einsetzen:
f(1)=1
daher hat der Punkt die Koordinaten:
P (1/1)
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erstens herzlichen dank für die schnelle antwort....
doch ich habe es leider den lösungsweg ehrlich gesagt nicht nachvollziehen können.
"Mediane"???
trotzdem vielen dank...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Fr 18.08.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi nochmals,
die erste Mediane lautet, wie ich bereits oben geschrieben hatte,
f(x)=x (oder y=x)
Stell dir nun ein Koordinatenkreuz vor und unter einem Winkel von 45° zeichnest du sie, anders ausgedrückt sie teilt x und y Achse (ist Diagonale)
um deine Hyperbel nun mit der Mediane zu schneiden setzt man die beiden Funktionen immer gleich:
also hast du ja dann
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = x
du kannst nun *x rechnen, dann hast du
[mm] x^{2}=1 [/mm]
und die Wurzel daraus ergibt
x1=1
x2=-1
es ist deshalb egal welchen Punkt du nimmst, weil die beide gleich weit weg sind, außer eine Doppellösung ist verlangt (nehme ich jetzt nicht an)
Ich hoffe, dass ich es nun verständnisvoll erklären konnte
Beste Grüße
Stefan
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gibt es deshalb vielleicht eine einfachere lösung..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Fr 18.08.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi zum Dritten *gg*,
Meiner Meinung nach ist dies die leichteste, aber eleganteste Lösung
Gruß
Edit:
Post Scriptum:
Aber ich stelle diese Frage auf teilweise beantwortet, sicherlich haben andere noch eine weitere Lösung zu diesem Problem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Fr 18.08.2006 | | Autor: | Palin |
Ok soweit ich es sehe geht es auch mit dem Satz des Pytagoras.
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] (bei Rechtwinklichen dreiecken, vobei a und bei b die katheten sind (ligen beide am Rechten Winkel) und c die Hypertenuse.
Mit W x und f(x) haben wir unser Dreieck, wobei f(x) senkrecht über x liegt,
so das die Streken W x und x f(x) einen Rechten Winkel bilden.
und wir die Strecke W f(x) suchen.
Die Gleichung lautet also [mm] x^2 [/mm] + [mm] f(x)^2 [/mm] = Strecke (W f(x))
eingesetzt bekommen wir die Funktion [mm] x^2 [/mm] + [mm] (1/x)^2 [/mm] = z, was wir auch als Funkltion g(x) bezeichnen können, zu beachten ist dases für x =0 keinewn Wert der Funktion gibt, nun suchen wir das Minimum der Funktion.
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ist es vielleicht möglich, dass du diesen lösungsweg ausführlicher beschreibst, bitte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 21.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Fr 18.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Stefan
Deine Methode ist zwar elegant ABER dazu musst du schon wisen, dass das Min. auf der Winkelhalbierenden liegt. Entweder durch Rechnung oder durch Symmetrieargumente. Ich find auch, dass man das Min. mit einem Blick sieht, aber "Ist doch klar" ist leider als Bewei nicht zulässig.
Gruss leduart
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hi... hast du vielleicht einen tipp, wie man es per rechnung lösen könnte?
wäre sehr dankbar..
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Um leduarts Argumentation zu bekräftigen, stelle man sich vor, man wollte die analoge Aufgabe mit [mm]f(x) = \frac{1}{x^2}[/mm] lösen. Dann geht das nicht mehr mit einer Symmetriebetrachtung.
Allgemein kann man das Problem folgendermaßen angehen (mach dir eine Skizze):
Gesucht ist der kürzeste Abstand des Punktes [mm]P[/mm] mit den Koordinaten [mm]u,v[/mm] vom Graphen der Funktion [mm]f[/mm].
Nehmen wir einmal an, daß diese kürzeste Strecke im Graphenpunkt [mm]X[/mm] mit den Koordinaten [mm]x,f(x)[/mm] endet, dann muß der Anschauung nach die Gerade [mm]XP[/mm] auf der Tangenten an den Graphen im Punkt [mm]X[/mm] senkrecht stehen. Und daraus findet man die gesuchte Bedingung:
[mm]\text{Steigung von} \ XP = \frac{f(x)-v}{x-u}[/mm]
Übergang zum negativen Kehrwert:
[mm]\text{Tangentensteigung} \ = - \frac{x-u}{f(x)-v}[/mm]
Diese Tangentensteigung entspricht aber zugleich der Ableitung an der Stelle [mm]x[/mm]:
[mm]- \frac{x-u}{f(x)-v} = f'(x)[/mm]
Und mit dieser Bedingung kann man den [mm]x[/mm]-Wert von [mm]X[/mm] finden.
In unserem Beispiel ist [mm]f(x) = \frac{1}{x} , \ f'(x) = - \frac{1}{x^2} , \ \ u = v = 0[/mm]
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