hypergeom. Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen,
ich habe da mal eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme. Also hier ist erstmal die Aufgabe:
Seihen h und b die Zähldichten der hypergeometrischen Verteilung h(k,n,S) bzw. der Binominalverteilung b(k,p), d.h.
[mm] h(s;k,n,S)= \bruch {{S \choose s}*{n-S \choose k-s}}{{n \choose k}}[/mm] , s[mm] \in [/mm]{0,...,k}
[mm]b(s;k,p)={k \choose s} p^s (1-p)^{k-s}[/mm] ,s[mm] \in [/mm]{0,...,k}
Zeigen sie, dass für [mm]S_n \in \IN [/mm] mit [mm]S_n \le n[/mm] und [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch {S_n}{n}= p \in (0,1)[/mm] gilt:
[mm]\limes_{n \to \infty}h(s;k,n,S_n) = b(s;k,p)[/mm], s[mm] \in [/mm]{0,..,k}[/mm]
So und hier sind meine Überlegungen dazu:
Ich habe als erstes [mm] h(k,n,S_n) [/mm] ausgeschrieben dann gilt: [mm] \limes_{n \to \infty}h(s;k,n,S_n)=\limes_{n \to \infty} \bruch {S_n!(n-S_n)!k!(n-k)!}{s!(S_n-s)!(k-s)!(n-S_n-k+s)!n!}[/mm]
[mm]= \limes_{n \to \infty} \bruch {k!}{s!(k-s)!}*\bruch {S_n!(n-S_n)!(n-k)!}{(S_n-s)!(n-S_n-k+s)!n!}[/mm]
[mm]= \limes_{n \to \infty} {k \choose s}*\bruch {S_n!(n-S_n)!(n-k)!}{(S_n-s)!(n-S_n-k+s)1n!}[/mm]
So und ich muss ja dann auf folgendes kommen:
[mm] \limes_{n \to \infty} h(s;k,n,S_n)= \limes_{n \to \infty}{k \choose s} (\bruch {S_n}{n})^s(1-\bruch {S_n}{n})^{k-s}[/mm]
Somit müsste ich nur noch zeigen, dass
[mm]{k \choose s} (\bruch {S_n}{n})^s(1-\bruch {S_n}{n})^{k-s}=\bruch {S_n!(n-S_n)!(n-k)!}{(S_n-s)!(n-S_n-k+s)1n!}[/mm]
An diesr Stelle komme ich nicht wieter. Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben wie es wieter geht.
Danke schon im vorraus
Jessica
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica!
> Seihen h und b die Zähldichten der hypergeometrischen
> Verteilung h(k,n,S) bzw. der Binominalverteilung b(k,p),
> d.h.
>
> [mm]h(s;k,n,S)= \bruch {{S \choose s}*{n-S \choose k-s}}{{n \choose k}}[/mm] , s[mm] \in [/mm]{0,...,k}
>
> [mm]b(s;k,p)={k \choose s} p^s (1-p)^{k-s}[/mm] ,s[mm] \in [/mm]{0,...,k}
>
> Zeigen sie, dass für [mm]S_n \in \IN [/mm] mit [mm]S_n \le n[/mm] und [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch {S_n}{n}= p \in (0,1)[/mm] gilt:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}h(s;k,n,S_n) = b(s;k,p)[/mm], s[mm] \in [/mm]{0,..,k}[/mm]
>
> So und hier sind meine Überlegungen dazu:
>
> Ich habe als erstes [mm] h(k,n,S_n) [/mm] ausgeschrieben dann gilt: [mm]\limes_{n \to \infty}h(s;k,n,S_n)=\limes_{n \to \infty} \bruch {S_n!(n-S_n)!k!(n-k)!}{s!(S_n-s)!(k-s)!(n-S_n-k+s)!n!}[/mm]
> [mm]= \limes_{n \to \infty} \bruch {k!}{s!(k-s)!}*\bruch {S_n!(n-S_n)!(n-k)!}{(S_n-s)!(n-S_n-k+s)!n!}[/mm]
> [mm]= \limes_{n \to \infty} {k \choose s}*\bruch {S_n!(n-S_n)!(n-k)!}{(S_n-s)!(n-S_n-k+s)!n!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So und ich muss ja dann auf folgendes kommen:
> [mm]\limes_{n \to \infty} h(s;k,n,S_n)= \limes_{n \to \infty}{k \choose s} (\bruch {S_n}{n})^s(1-\bruch {S_n}{n})^{k-s}[/mm]
>
> Somit müsste ich nur noch zeigen, dass
> [mm]{k \choose s} (\bruch {S_n}{n})^s(1-\bruch {S_n}{n})^{k-s}=\bruch {S_n!(n-S_n)!(n-k)!}{(S_n-s)!(n-S_n-k+s)1n!}[/mm]
Zum einen ist der erste Binomialkoeffizient da fehl am Platz, und weiterhin muss diese Gleichheit ja nur für den Grenzübergang bestehen, also:
[mm] $\limes_{n\to\infty} (\bruch {S_n}{n})^s(1-\bruch {S_n}{n})^{k-s}=\limes_{n\to\infty}{\bruch {S_n!(n-S_n)!(n-k)!}{(S_n-s)!(n-S_n-k+s)!n!}}$
[/mm]
Diese Gleichheit sieht man so:
[mm] $\limes_{n\to\infty}{\bruch{S_n!(n-S_n)!(n-k)!}{(S_n-s)!(n-S_n-k+s)!n!}}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{S_n!}{(S_n-s)!}*\bruch{(n-S_n)!}{(n-S_n-k+s)!}*\bruch{(n-k)!}{n!}$
[/mm]
Diese drei Brüche untersuche ich (der Übersichtlichkeit wegen) zunächst einzeln:
Erster Bruch:
[mm] $\bruch{S_n!}{(S_n-s)!}$
[/mm]
[mm] $=\underbrace{S_n*(S_n-1)*(S_n-2)*\ldots*(S_n-s+1)}_{s \mbox{\scriptsize{ Faktoren}}}$
[/mm]
[mm] $=S_n^s+A(S_n)$, [/mm] wobei $A$ ein Polynom in [mm] S_n [/mm] vom Grad < s ist.
Kommst du nun alleine klar? Falls nicht, poste ich meine Lösung, ich habe sie bereits ausgearbeitet.
Viel Spaß beim Rechnen!
Marc
Freigeschaltete Lösung:
Zweiter Bruch:
[mm] $\bruch{(n-S_n)!}{(n-S_n-k+s)!}$
[/mm]
[mm] $=\underbrace{(n-S_n)*((n-S_n)-1)*((n-S_n)-2)*\ldots*((n-S_n)-(k-s))}_{k-s \mbox{\scriptsize{ Faktoren}}}$
[/mm]
[mm] $=(n-S_n)^{k-s}+B(n-S_n)$, [/mm] wobei $B$ ein Polynom in [mm] n-S_n [/mm] vom Grad < k-s ist.
Dritter Bruch:
[mm] $\bruch{(n-k)!}{n!}$
[/mm]
[mm] $=\left( \bruch{n!}{(n-k)!} \right)^{-1}
[/mm]
[mm] $=\left( \underbrace{n*(n-1)*(n-2)*\ldots*(n-k+1)!}_{k\mbox{\scriptsize{ Faktoren}}} \right)^{-1}
[/mm]
[mm] $=\left( \underbrace{
\underbrace{n*(n-1)*(n-2)*\ldots*(n-s+1)!}_{s\mbox{\scriptsize{ Faktoren}}}
*\underbrace{(n-s)*(n-s-1)*\ldots*(n-k+1)!}_{k-s\mbox{\scriptsize{ Faktoren}}}}_{k\mbox{\scriptsize{ Faktoren}}} \right)^{-1}$
[/mm]
[mm] $=\left( (n^s+C_1(n))*(n^{k-s}+C_2(n)) \right)^{-1}$, [/mm] wobei [mm] $C_1$ [/mm] ein Polynom in n vom Grad < s ist und [mm] $C_2$ [/mm] ein Polynom in n vom Grad < k-s ist.
Nun zurück zum eigentlichen:
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{S_n!}{(S_n-s)!}*\bruch{(n-S_n)!}{(n-S_n-k+s)!}*\bruch{(n-k)!}{n!}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} (S_n^s+A(S_n))*((n-S_n)^{k-s}+B(n-S_n))*\bruch{1}{(n^s+C_1(n))*(n^{k-s}+C_2(n))}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{S_n^s+A(S_n)}{n^s+C_1(n)}*\bruch{(n-S_n)^{k-s}+B(n-S_n)}{n^{k-s}+C_2(n)}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \left( \bruch{S_n^s}{n^s+C_1(n)} + \underbrace{\bruch{A(S_n)}{n^s+C_1(n)}}_{\to0} \right)*\left( \bruch{(n-S_n)^{k-s}}{n^{k-s}+C_2(n)}+\underbrace{\bruch{B(n-S_n)}{n^{k-s}+C_2(n)}}_{\to0}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \left( \bruch{S_n^s}{n^s+C_1(n)}\right) [/mm] * [mm] \left( \bruch{(n-S_n)^{k-s}}{n^{k-s}+C_2(n)}\right)$
[/mm]
Durch Ausklammern der höchsten Potenz von $n$ im Nenner folgt auch:
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{S_n^s}{n^s} [/mm] * [mm] \bruch{(n-S_n)^{k-s}}{n^{k-s}}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \left(\bruch{S_n}{n}\right)^s [/mm] * [mm] \left(\bruch{n-S_n}{n}\right)^{k-s}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \left(\bruch{S_n}{n}\right)^s [/mm] * [mm] \left(1-\bruch{S_n}{n}\right)^{k-s}$
[/mm]
[mm] $=p^s [/mm] * [mm] (1-p)^{k-s}$
[/mm]
(Diese Limes-Gleichungen bitte rückwärts lesen, da zuerst genannte Grenzwerte ja nur unter dem Vorbehalt existieren, dass die späteren überhaupt existieren.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo marc,
so ganz verstehe ich deinen Tipp nun nicht. weshalb gilt denn:
[mm] \bruch{S_n!}{(S_n-s)!} [/mm]
[mm] =S_n*(S_n-1)*(S_n-2)*\ldots*(S_n-s+1) [/mm]
[mm] =S_n^s+A(S_n) [/mm]
Könntest du mir das erklären?
Liebe Grüße
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> so ganz verstehe ich deinen Tipp nun nicht. weshalb gilt
> denn:
>
> [mm]\bruch{S_n!}{(S_n-s)!}[/mm]
> [mm]=S_n*(S_n-1)*(S_n-2)*\ldots*(S_n-s+1)[/mm]
> [mm]=S_n^s+A(S_n)[/mm]
>
> Könntest du mir das erklären?
Meinst du die erste Gleichheit oder die zweite?
Die erste folgt durch simples Kürzen:
[mm] $\bruch{S_n!}{(S_n-s)!}=\bruch{S_n*(S_n-1)*(S_n-2)*\ldots*(S_n-s+1)*\overbrace{(S_n-s)*(S_n-s-1)*\ldots*2*1}^{=(S_n-s)!}}{(S_n-s)!}$
[/mm]
und die zweite durch Ausmultiplizieren, denn dabei würde ja [mm] "$S_n$" [/mm] s-mal auf sich selbst treffen, und bei allen anderen Summanden würde mindestens ein [mm] S_n [/mm] als Faktor fehlen. Daraus folgt die Gleichheit.
Aber man kann es auch mit der (s-fachen Anwendung der) Grad-Formel für Polynome zeigen:
[mm] $\operatorname{grad} f*g=\operatorname{grad} [/mm] f + [mm] \operatorname{grad} [/mm] g$
Nun werden s Polynome vom Grad 1 miteinander multipliziert, das Ergebnis ist ein Polynom vom Grad s.
Liebe Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Marc
Also ich habe die Brüche genauso wie den ersten betrachtet und bin auch auf das gekommen was ich brauch. Jedoch weiß ich nicht wie ich nun begründen kann, dass
[mm] \limes_{n \to \infty} A(S_n)= \limes_{n \to \infty} (1- \bruch {1}{S_n})*(1- \bruch {2}{S_n})*...*(1- \bruch {s-1}{S_n}) =1 [/mm]
gilt.
Liebe Grüße
Christa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica und Christa 
> Also ich habe die Brüche genauso wie den ersten betrachtet
> und bin auch auf das gekommen was ich brauch. Jedoch weiß
> ich nicht wie ich nun begründen kann, dass
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} A(S_n)= \limes_{n \to \infty} (1- \bruch {1}{S_n})*(1- \bruch {2}{S_n})*...*(1- \bruch {s-1}{S_n}) =1[/mm]
Im Augenblick weiß ich nicht, wie du darauf gekommen bist, es sieht aber trotzdem wie eine richtige Umformung aus. Wenn du magst, kannst du das ja noch nachreichen, wie du darauf gekommen bist.
Dass der Limes aber 1 ist, dürfte schwierig zu zeigen sein, denn von dem [mm] $S_n$ [/mm] wissen wir ja nur, dass [mm] $S_n\le [/mm] n$ ist, es könnte also für alle n [mm] $S_n=2$ [/mm] sein.
In meiner ersten Antwort habe ich nun meine angesprochene Lösung freigeschaltet, werft doch da mal einen Blick drauf und sagt, wie Ihr damit zurecht kommt.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 16.05.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Marc,
ich habe mir deine Lösung druchgeschaut. Dazu habe ich aber noch einige Fragen. Warum geht gerade
[mm]\bruch{A(S_n)}{n^s+C_1(n)}[/mm] gegen Null sowie auch [mm]\bruch{B(n-S_n)}{n^{k-s}+C_2(n)}[/mm] ?
Und wieso git denn [mm]\bruch{S_n^s}{n^s+C_1(n)}=\bruch{S_n^s}{n^s}[/mm] und [mm]\bruch{(n-S_n)^{k-s}}{n^{k-s}+C_2(n)}=\bruch{(n-S_n)^{k-s}}{n^{k-s}}[/mm] Geht [mm]C_1(n)[/mm] und [mm]C_2(n)[/mm] gegen Null oder wieso geht das?
(Christa: Ich bin nur der kleine persönliche Haussklave von Jessica, man kann das auch einfach Schwester nennen. Ich versteh von dem ganzen Krams hier nix, ich bin erst in der Stufe 12, daher...und nur für's abtippen zuständig, mit meinen flinken Händen!)
Liebe Grüße
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 So 16.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica (und Bedienstete),
> Hallo Marc,
>
> ich habe mir deine Lösung druchgeschaut. Dazu habe ich aber
> noch einige Fragen. Warum geht gerade
>
> [mm]\bruch{A(S_n)}{n^s+C_1(n)}[/mm] gegen Null sowie auch
Das liegt daran, dass im Zähler der Brüche ein Polynom kleinerer Grades steht als im Nenner (siehe auch diesen Artikel über Randverhalten rationaler Funktionen dazu).
[mm] $A(S_n)$ [/mm] soll ja ein Polynom mit Grad [mm] $\red{<}s$ [/mm] sein, und im Nenner steht auf jeden Fall ein Polynom vom Grad s.
> [mm]\bruch{B(n-S_n)}{n^{k-s}+C_2(n)}[/mm] ?
Hier das gleiche: Im Zähler Polynome [mm] $\red{<}k-s$, [/mm] im Nenner vom Grad $=k-s$.
> Und wieso git denn
> [mm]\bruch{S_n^s}{n^s+C_1(n)}=\bruch{S_n^s}{n^s}[/mm] und
> [mm]\bruch{(n-S_n)^{k-s}}{n^{k-s}+C_2(n)}=\bruch{(n-S_n)^{k-s}}{n^{k-s}}[/mm]
> Geht [mm]C_1(n)[/mm] und [mm]C_2(n)[/mm] gegen Null oder wieso geht das?
Nein, das würde ich nicht sagen.
Ich hatte ja geschrieben, dass dies durch Übergang zu den Kehrbrüchen folgen würde; das sehe ich jetzt auch nicht mehr 
Aber es folgt viel einfacher (übrigens auch durch Überlegungen zu dem Randverhalten rationaler Funktionen, siehe Artikel oben).
[mm] $\limes_{n\to\infty} \bruch{S_n^s}{n^s+C_1(n)}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{S_n^s}{n^s*\left(1+\bruch{C_1(n)}{n^s}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{S_n^s}{n^s}*\limes_{n\to\infty}\bruch{1}{1+\bruch{C_1(n)}{n^s}}$
[/mm]
Der rechte Limes ist nun offenbar 1, da der Bruch im Nenner gegen 0 geht (eben weil [mm] $\operatorname{grad} C_1(n)<\operatorname{grad} n^s$).
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{S_n^s}{n^s}$
[/mm]
Alle Klarheiten restlos beseitigt?
> (Christa: Ich bin nur der kleine persönliche Haussklave von
> Jessica, man kann das auch einfach Schwester nennen. Ich
> versteh von dem ganzen Krams hier nix, ich bin erst in der
> Stufe 12, daher...und nur für's abtippen zuständig, mit
> meinen flinken Händen!)
Ich will auch so einen Haussklaven!
Liebe Grüße,
Marc
|
|
|
|
